복소화

수학에서, 실수 체 스칼라를 가진 선형 공간 ${\displaystyle V}$("실수 선형 공간")의 복소화는 복소수 체에 대한 선형 공간 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$를 구성하며, 벡터의 실수 스칼라를 복소수 범위 까지 형식적으로 확장하여 얻은 것이다. 실 선형 공간 ${\displaystyle V}$에 대한 모든 기저는 또한 복소 선형 공간 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$에 대한 기저 역할을 할 수 있다.

정의

${\displaystyle V}$가 실 선형 공간이라 하자. ${\displaystyle V}$의 복소화는 ${\displaystyle V}$와 2차원 실 선형 공간으로서의 복소수 공간의 텐서 곱으로 정의된다.

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }:=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,.}$

텐서 곱에서 아래 첨자 ${\displaystyle \mathbb {R} }$은 텐서 곱이 실수 위에서 이뤄짐을 나타낸다.(${\displaystyle V}$는 실 선형 공간이므로 어쨌든 이것이 유일하게 합리적인 선택이므로 아래 첨자는 혼동의 여지 없이 생략할 수 있다.) 현재 상태 그대로, ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$ 는 실 선형 공간이다. 그러나, 복소수 곱셈을 다음과 같이 정의하여 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$를 복소 선형 공간으로 변환한다:

${\displaystyle \alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ for all }}v\in V{\mbox{ and }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .}$

보다 일반적으로, 복소화는 스칼라 확대의 예이다. 여기서는 실수에서 복소수로 스칼라를 확장한다. 이는 모든 체 확대 또는 환의 모든 사상에 대해 수행될 수 있다.

범주론적으로, 복소화는 실 선형 공간의 범주에서 복소 선형 공간의 범주로 가는 함자 Vect_R → Vect_C이다. 이것은 복소 구조를 잊어 버린 망각 함자 Vect_C → Vect_R에 대한 왼쪽 수반 함자이다.

복소 선형 공간 ${\displaystyle V}$의 복소 구조에 대한 이러한 망각은 실수화라고 부른다.

기저 ${\displaystyle e_{\mu }}$를 가진 복소 선형 공간 ${\displaystyle V}$의 실수화는 복소수 스칼라 곱을 없애버리고

${\displaystyle \{e_{\mu },ie_{\mu }\}}$를 기저로 하여 차원을 두배로 만든다.

기본적 성질들

텐서 곱의 특성상 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$의 모든 벡터 ${\displaystyle v}$는 다음과 같은 형식으로 유일하게 쓸 수 있다:

${\displaystyle v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i}$

여기서 ${\displaystyle v_{1}}$와 ${\displaystyle v_{2}}$는 ${\displaystyle V}$의 벡터이다. 텐서 곱 기호를 버리고 그냥 쓰는 것이 일반적이다.

${\displaystyle v=v_{1}+iv_{2}.\,}$

복소수 ${\displaystyle a+bi}$에 의한 곱셈은 일반적인 규칙에 의해 주어진다.

${\displaystyle (a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,}$

그런 다음 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$를 두 ${\displaystyle V}$의 직합으로 볼 수 있다:

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV}$

복소수에 의한 곱셈에 대한 위의 규칙을 사용한다.

다음과 같이 주어진 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$에 ${\displaystyle V}$의 자연스러운 매장이 있다.

${\displaystyle v\mapsto v\otimes 1.}$

그러면 선형 공간 ${\displaystyle V}$를 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$의 실수 부분 공간으로 볼 수 있다. ${\displaystyle V}$(실수 체에 대해) 기저 ${\displaystyle \{e_{i}\}}$를 갖는 경우 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$에 대한 해당 기저는 복소수 체에 대해 ${\displaystyle \{e_{i}\otimes 1\}}$로 주어진다. 따라서 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$의 복소 차원은 ${\displaystyle V}$의 실수 차원과 같다.

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.}$

또는 텐서 곱을 사용하는 대신 이 직합을 복소화의 정의로 사용할 수 있다.

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,}$

여기서 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$는 ${\displaystyle J(v,w):=(-w,v)}$과 같이 정의된 연산자 ${\displaystyle J}$에 의해 선형 복소 구조가 제공된다. 여기서 ${\displaystyle J}$는 "${\displaystyle i}$에 의한 곱셈" 연산을 의미한다. 행렬 형식으로 ${\displaystyle J}$는 다음과 같다:

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.}$

이것은 공간을 다르게 구성하지만 동일한 공간을 생성한다. 선형 복소 구조를 가진 실 선형 공간은 복소 선형 공간과 동일하다. 따라서, ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$는 ${\displaystyle V\oplus JV}$ 또는 ${\displaystyle V\oplus iV}$로 쓸 수 있다. ${\displaystyle V}$는 직합의 첫 번째 성분으로 식별한다. 이 접근법은 더 구체적이고 기술적으로 관련된 텐서 곱의 사용을 피하는 이점이 있지만 임시적이다.

예

• 실수 좌표 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 복소화는 복소 좌표 공간 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$이다.
• 마찬가지로, ${\displaystyle V}$가 실수 성분이 포함된 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬로 구성된 경우 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$는 복소수 성분이 포함된 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬로 구성된다.

딕슨 배환

${\displaystyle \mathbb {R} }$에서 ${\displaystyle \mathbb {C} }$로 이동하는 복소화 과정은 레너드 딕슨을 비롯한 20세기 수학자에 의해 추상화되었다. 하나는 항등사상 ${\displaystyle x^{*}=x}$을 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 에 대한 자명한 대합으로 사용하는 것으로 시작한다. 다음으로 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 두 복사본을 사용하여, 복소 켤레는 ${\displaystyle z^{*}=(a,-b)}$를 사용하여 ${\displaystyle z=(a,b)}$를 형성한다. 배가 된 집합의 두 원소 ${\displaystyle w}$와 ${\displaystyle z}$는 다음과 같이 곱한다.

${\displaystyle wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).}$

마지막으로, 배가 된 집합에는 노름 ${\displaystyle N(z):=z^{*}z}$가 주어진다. 항등 대합을 사용하여 ${\displaystyle \mathbb {R} }$에서 시작할 때 배가 된 집합은 노름 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$를 사용하는 ${\displaystyle \mathbb {C} }$이다. ${\displaystyle \mathbb {C} }$를 두 배로 하고 켤레 ${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b)}$를 사용하면 사원수를 생성한다. 다시 두 배로 하면 케일리 수라고도 하는 팔원수가 생성된다. 1919년 딕슨이 대수적 구조를 밝히는 데 기여한 것은 바로 이 시점이었다.

이 과정은 ${\displaystyle \mathbb {C} }$와 자명한 대합 z* = z 로 시작할 수도 있다. 생성된 노름은 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 두 배로 하여 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 를 생성하는 것과는 달리 단순히 z²이다. 이 ${\displaystyle \mathbb {C} }$가 2배가 되면 쌍복소수이고, 2배가 되면 쌍사원수이고, 다시 2배가 되면 쌍팔원수이다. 기본이 되는 대수가 결합적일 때, 이 케일리-딕슨 구성에 의해 생성된 대수는 합성 대수라고 불린다. 왜냐하면 다음과 같은 성질이 있기 때문이다.

${\displaystyle N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.}$

복소 켤레

복소화된 선형 공간 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$는 일반적인 복소 선형 공간보다 더 많은 구조를 가지고 있다. 표준 복소 켤레 사상과 함께 제공된다.

${\displaystyle \chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$,

${\displaystyle \chi }$는 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }\rightarrow V^{\mathbb {C} }}$인 켤레 선형 사상 또는 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$인 복소 선형 동형 사상으로 볼 수 있다.

반대로 복소수 켤레 ${\displaystyle \chi }$를 갖는 복소 선형 공간 ${\displaystyle W}$이 주어지면 ${\displaystyle W}$는 실 부분공간의 복소화 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$에 대한 복소 선형 공간과 동형이다.

${\displaystyle V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.}$

즉, 켤레 복소수가 있는 모든 복소 선형 공간은 실 선형 공간의 복소화이다.

예를 들어, ${\displaystyle W=\mathbb {C} ^{n}}$일 때 표준 복소 켤레

${\displaystyle \chi (z_{1},\ldots ,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots ,{\bar {z}}_{n})}$

의 불변 부분공간 ${\displaystyle V}$는 단순히 실 부분공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$이다.

선형 변환

두 실 선형 공간 사이에 주어진 실 선형 변환 ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$에 대해 자연 복소 선형 변환

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\to W^{\mathbb {C} }}$

이 있다. 여기서

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.}$

사상 ${\displaystyle f^{\mathbb {C} }}$는 ${\displaystyle f}$의 복소화라고 한다. 선형 변환의 복소화는 다음 성질을 갖는다:

• ${\displaystyle (\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}}$
• ${\displaystyle (f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \forall a\in \mathbb {R} }$

범주론에서 복소화는 실 선형 공간 범주에서 복소 선형 공간 범주로 가는 (가산) 함자를 정의한다고 말한다.

사상 ${\displaystyle f^{\mathbb {C} }}$는 켤레와 사용하여 교환하므로 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$의 실 부분 공간을 ${\displaystyle W^{\mathbb {C} }}$의 실 부분 공간에 사상한다 (사상 f 를 통해). 또한 복소 선형 사상 ${\displaystyle g:V^{\mathbb {C} }\rightarrow W^{\mathbb {C} }}$는 오직 켤레로 교환하는 경우에만 실 선형 사상의 복소화이다.

예를 들어 ${\displaystyle n\times m}$ 행렬로 생각되는 선형 변환 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$을 고려하자. 해당 변환의 복소화는 정확히 동일한 행렬이지만 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{m}}$인 선형 사상으로 여겨진다.

쌍대 공간과 텐서 곱

실 선형 공간 ${\displaystyle V}$의 쌍대공간은 ${\displaystyle V\rightarrow \mathbb {R} }$인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간 ${\displaystyle V^{*}}$이다. ${\displaystyle V^{*}}$의 복소화는 당연히 ${\displaystyle V\rightarrow \mathbb {C} }$인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} )}$으로 생각할 수 있다. 즉,$${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} ).}$$동형은 다음과 같이 주어진다.$${\displaystyle (\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}}$$여기서 ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$는 ${\displaystyle V^{*}}$의 원소이다. 그런 다음 일반적인 작업에 의해 복소 켤레가 제공된다.$${\displaystyle {\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}.}$$주어진 실 선형 사상 ${\displaystyle \varphi :V\rightarrow \mathbb {C} }$에 대해 복소 선형 사상 ${\displaystyle \varphi :V^{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbb {C} }$를 얻기 위해 선형으로 확대할 수 있다. 즉,$${\displaystyle \varphi (v\otimes z)=z\varphi (v).}$$이 확대는 ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} )}$에서 ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },\mathbb {C} )}$까지의 동형 사상을 제공한다. 후자는 단지 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$에 대한 복소 쌍대 공간이므로, 다음과 같은 자연스러운 동형사상이 있다:$${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.}$$더 일반적으로, 실 선형 공간 ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$가 주어지면 자연스러운 동형사상$${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,W)^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },W^{\mathbb {C} })}$$이 있다. 복소화는 또한 텐서 곱, 외승 및 대칭승을 취하는 작업과 교환한다. 예를 들어, ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$가 실 선형 공간인 경우 자연스러운 동형사상$${\displaystyle (V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\mathbb {C} }\,}$$이 있다. 왼쪽 텐서 곱은 실수를 인계받는 반면 오른쪽 텐서 곱은 복소수를 인계한다. 일반적으로 동일한 패턴이 적용된다. 예를 들어, 하나는$${\displaystyle (\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).}$$모든 경우에 동형사상은 "자명한" 동형사상이다.

같이 보기

• 스칼라의 확장 - 일반적 과정
• 선형 복소 구조
• 베이커–캠벨–하우스도르프 공식