부랄리포르티 역설

집합론에서 부랄리포르티 역설(영어: Burali-Forti paradox)은 소박한 집합론의 역설의 하나이며, 모든 순서수의 모임이 집합을 이룰 수 없다는 것을 증명한다.

정의

존 폰 노이만을 따라서, 순서수 ${\displaystyle \omega }$를 ${\displaystyle \omega }$보다 작은 순서수들의 집합으로 정의하자. 예를 들어, ${\displaystyle 0=\varnothing }$, ${\displaystyle 1=\{0\}}$, ${\displaystyle 2=\{0,1\}}$ 따위이다.

모든 순서수의 모임 ${\displaystyle {\text{On}}}$이 집합이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle \operatorname {On} }$ 자체도 또한 순서수가 된다. 따라서 그 바로 다음 수 ${\displaystyle {\text{On}}+1}$이 존재하고, 이는 ${\displaystyle {\text{On}}}$보다 크다. 그러나, ${\displaystyle {\text{On}}}$은 모든 순서수를 포함하므로 ${\displaystyle {\text{On}}+1}$도 그 원소가 되며, 다음의 역설이 발생한다.

${\displaystyle {\text{On}}<{\text{On}}+1<{\text{On}}}$

따라서, 모든 순서수의 모임은 집합이 될 수 없다.

역사

체사레 부랄리포르티(이탈리아어: Cesare Burali-Forti)가 1897년에 발견하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Burali-Forti paradox”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

같이 보기

• 칸토어 역설
• 러셀의 역설