칸토어 역설

집합론에서 칸토어 역설(영어: Cantor’s paradox)은 소박한 집합론의 역설의 하나이며, 모든 기수들의 모임이 집합을 이룰 수 없다는 것을 보인다.

정의

칸토어 역설은 다음과 같다. 기수들의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Card} }$가 집합이라고 가정하자. 그렇다면, 모임

${\displaystyle \{\{\alpha \in \operatorname {Ord} \colon \alpha <\kappa \}\colon \kappa \in \operatorname {Card} \}}$

역시 집합이다. 그 합집합의 크기를 나타내는 기수

${\displaystyle \kappa =\left|\{\alpha \in \operatorname {Ord} \colon \exists \lambda \in \operatorname {Card} \colon \alpha <\lambda \}\right|}$

를 생각하자. 그렇다면, 칸토어 정리에 따라

${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa }$

이다. 그러나

${\displaystyle \{\alpha \in \operatorname {Ord} \colon \alpha <2^{\kappa }\}\subsetneq \{\alpha \in \operatorname {Ord} \colon \exists \lambda \in \operatorname {Card} \colon \alpha <\lambda \}}$

이므로,

${\displaystyle 2^{\kappa }\leq \kappa }$

이다. 이는 기수의 전순서와 모순된다. 따라서, 기수의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Card} }$는 고유 모임이다.

역사

게오르크 칸토어가 1890년대에 발견하였다.

같이 보기

• 부랄리포르티 역설
• 러셀의 역설

외부 링크

• “Antimony”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cantor's paradox”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.