분리 집합쌍

일반위상수학에서 분리 집합쌍(分離集合雙, 영어: separated pair of sets)은 서로의 폐포와 겹치지 않는 두 개의 집합을 뜻한다. 이 개념 및 이를 강화한 조건들을 통해, 위상 공간의 다양한 분리공리(分離公理, 영어: separation axiom)들을 정의할 수 있다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 두 부분 집합 ${\displaystyle A,B\subseteq X}$에 대하여, 다음을 정의한다.

• 만약 ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$이라면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$는 서로소 집합쌍(-素集合雙, 영어: disjoint pair of sets)이다.
• 만약 ${\displaystyle A\cap \operatorname {cl} (B)=\varnothing }$이거나 또는 ${\displaystyle \operatorname {cl} (A)\cap B=\varnothing }$이라면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$는 위상 구별 가능 집합쌍(位相區別可能集合雙, 영어: topologically distinguishable pair of sets)이다.
• 만약 ${\displaystyle A\cap \operatorname {cl} (B)=\operatorname {cl} (A)\cap B=\varnothing }$이라면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$는 분리 집합쌍(分離集合雙, 영어: separated pair of sets)이다.
• 만약 ${\displaystyle {\tilde {A}}\cap {\tilde {B}}=\varnothing }$이 되는 ${\displaystyle A}$의 근방 ${\displaystyle {\tilde {A}}\supseteq A}$ 및 ${\displaystyle B}$의 근방 ${\displaystyle {\tilde {B}}\supseteq B}$가 존재한다면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$는 근방 분리 집합쌍(近傍分離集合雙, 영어: neighborhood-separated pair of sets)이다.
• 만약 ${\displaystyle {\tilde {A}}\cap {\tilde {B}}=\varnothing }$이 되는 ${\displaystyle A}$의 닫힌 근방 ${\displaystyle {\tilde {A}}\supseteq A}$ 및 ${\displaystyle B}$의 닫힌 근방 ${\displaystyle {\tilde {B}}\supseteq B}$가 존재한다면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$는 닫힌 근방 분리 집합쌍(-近傍分離集合雙, 영어: closed-neighborhood-separated pair of sets)이다.
• 만약 ${\displaystyle f(A)=\{0\}}$이자 ${\displaystyle f(B)=\{1\}}$인 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$가 존재한다면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$는 함수 분리 집합쌍(函數分離集合雙, 영어: functionally separated pair of sets)이다.
• 만약 ${\displaystyle f^{-1}(0)=A}$이자 ${\displaystyle f^{-1}(1)=B}$인 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$가 존재한다면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$는 정밀 함수 분리 집합쌍(精密函數分離集合雙, 영어: precisely functionally separated pair of sets)이다. 이 경우, ${\displaystyle A}$는 닫힌집합 ${\displaystyle \{0\}}$의 원상이므로 ${\displaystyle X}$의 닫힌집합이며, 또한 가산 개의 열린집합들 ${\displaystyle \{f^{-1}([0,1/n))\}_{n\in \mathbb {Z} ^{+}}}$의 교집합이므로 G_δ 집합이다. 이는 ${\displaystyle B}$도 마찬가지다.

이들 사이에는 서로 함의 관계 전순서가 존재한다.

서로소 ⇐ 분리 ⇐ 근방 분리 ⇐ 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리 ⇐ 정밀 함수 분리

이 가운데 자명하지 않은 것은 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리로, 만약 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$가 ${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$에 의하여 서로 함수 분리라면, ${\displaystyle {\tilde {A}}=f^{-1}([0,1/3])}$, ${\displaystyle {\tilde {B}}=f^{-1}([2/3,1])}$로 놓으면 이들이 닫힌 근방 분리임을 알 수 있다.

성질

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음과 같은 꼴의 조건을 정의할 수 있다.

〜인 부분 집합 ${\displaystyle A,B\subseteq X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$이라면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$는 〜분리이다.

이러한 조건을 분리공리라고 한다. 대표적인 예는 다음과 같다. (아래 표에서, "점"이란 사실 한원소 집합을 뜻한다.)

분리 대상╲분리 조건	위상 구별 가능	분리	근방 분리	닫힌 근방 분리	함수 분리	정밀 함수 분리
점과 점	콜모고로프 공간	T1 공간	하우스도르프 공간	우리손 공간	완비 하우스도르프 공간	㉢
점과 닫힌집합	모든 위상 공간	R0 공간	정칙 공간		완비 정칙 공간	㉣
닫힌집합과 닫힌집합	모든 위상 공간		정규 공간			완전 정규 공간
점과 열린집합	모든 위상 공간	㉠				이산 공간
열린집합과 닫힌집합		㉠
열린집합과 열린집합	모든 위상 공간			㉡	㉠

여기서

• ㉠은 모든 열린집합이 열린닫힌집합인 위상 공간이다. (마찬가지로, 모든 닫힌집합도 열린닫힌집합이다.)
• ㉡은 모든 정칙 열린집합이 열린닫힌집합인 위상 공간이다. 이는 ㉠보다 약한 조건이다. (예를 들어, 시에르핀스키 공간은 ㉡을 만족시키지만 ㉠을 만족시키지 않는다.)
• ㉢에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 완비 정칙 공간 + (모든 한원소 집합이 G_δ 집합)에 의하여 함의된다.
• ㉣에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 완비 정칙 하우스도르프 공간 + (모든 닫힌집합이 G_δ 집합)을 함의하며, 완전 정규 하우스도르프 공간에 의하여 함의된다.

증명 (㉠과 동치인 조건들):

다음 함의 관계들을 증명하면 족하다.

• (A) 열린집합과 닫힌집합이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
• (A′) 열린집합과 점이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
• (A″) 열린집합과 열린집합이 함수 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
• (B) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 열린(닫힌)집합은 정밀히 함수 분리
• (B′) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 점은 함수 분리

(A): 임의의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle U}$와 닫힌집합 ${\displaystyle X\setminus U}$가 분리되었다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle \varnothing =(X\setminus U)\cap \operatorname {cl} (U)=\operatorname {cl} (U)\setminus U}$이므로 ${\displaystyle U}$는 닫힌집합이다.

(A′): 귀류법을 통해, 닫힌집합이 아닌 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$이 존재한다면, ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} (U)\setminus U}$를 고를 수 있으며, 이 경우 ${\displaystyle \{x\}}$와 ${\displaystyle U}$는 서로 분리되지 않는다.

(A″): 함수 분리되는 두 집합은 항상 닫힌집합이다.

(B): ${\displaystyle X}$에서 모든 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 임의의 두 서로소 열린닫힌집합 ${\displaystyle A,B\subseteq X}$에 대하여,

${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$

${\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}0&x\in A\\1&x\in B\\1/2&x\in X\setminus (A\cup B)\end{cases}}}$

는 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$를 정밀히 분리하는 연속 함수이다.

(B′): ${\displaystyle X}$에서 열린집합과 닫힌집합이 일치한다고 하자. 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$와 ${\displaystyle x\in X\setminus U}$를 고른 뒤, ${\displaystyle V=\operatorname {cl} (\{x\})}$로 놓자. 그렇다면 (B)에 의하여 ${\displaystyle U}$와 ${\displaystyle V}$를 분리하는 함수가 존재한다.

증명 (㉡과 동치인 조건):

다음 함의 관계들을 증명하면 족하다.

• (C) 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리 ⇒ 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합
• (C′) 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합 ⇒ 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리

(C): ${\displaystyle X}$의 임의의 정칙 열린집합 ${\displaystyle U}$에 대하여, ${\displaystyle V=\operatorname {int} (X\setminus U)}$라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \operatorname {cl} V=X\setminus U}$

이다. 이제, ${\displaystyle U}$와 ${\displaystyle }$가 닫힌 근방 분리된다는 것은

${\displaystyle \varnothing =\operatorname {cl} (U)\cap \operatorname {cl} (V)=\operatorname {cl} U\setminus U}$

를 뜻하므로, ${\displaystyle U}$는 닫힌집합이다. 따라서, 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합이다.

(C′): ${\displaystyle X}$에서 모든 정칙 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle X}$의 두 서로소 열린집합 ${\displaystyle U,V\subseteq X}$에 대하여,

${\displaystyle {\tilde {U}}=\operatorname {int} (\operatorname {cl} (U))=\operatorname {cl} U}$

${\displaystyle {\tilde {V}}=X\setminus \operatorname {cl} (U)}$

라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle {\tilde {U}}}$는 ${\displaystyle U}$의 닫힌 근방이며,

${\displaystyle U\subseteq \operatorname {cl} (U)\subseteq X\setminus V}$

이므로 ${\displaystyle {\tilde {V}}}$는 ${\displaystyle V}$의 닫힌 근방이다. 따라서 ${\displaystyle U}$와 ${\displaystyle V}$는 닫힌 근방으로 분리된다.

증명 (이산 공간과 동치인 조건):

한원소 집합과 열린집합이 정밀히 함수로 분리된다는 것은 모든 열린집합이 닫힌집합이며, 또 한원소 집합이 닫힌집합이어야 한다는 것을 함의한다. 후자는 T₁ 공간의 정의이며, 따라서 이러한 공간은 이산 공간이다. 반대 방향 함의는 자명하다.

증명 (㉢의 함의):

완비 정칙 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]

• 모든 한원소 집합이 G_δ 집합이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle f^{-1}(\max _{y\in X}f(y))=\{x\}}$인 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$가 존재한다.

따라서, 임의의 ${\displaystyle x,x'\in X}$에 대하여

${\displaystyle f^{-1}(\max _{y\in X}f(y))=\{x\}}$

${\displaystyle f'^{-1}(\max _{y\in X}f'(y))=\{x'\}}$

인 ${\displaystyle f,f'\colon X\to \mathbb {R} }$를 고른다면,

${\displaystyle y\mapsto {\frac {1}{2}}+{\frac {f(x)-\max\{f(y),f(x')\}}{2(f(x)-f(x'))}}-{\frac {f'(x')-\max\{f'(y),f'(x)\}}{2(f'(x)-f(x))}}}$

는 ${\displaystyle x}$와 ${\displaystyle x'}$을 정밀히 분리한다.