분해체

대수적 수론에서, 주어진 다항식의 분해체(分解體, 영어: splitting field)는 그 다항식을 완전히 인수 분해할 수 있는 체의 확대 중 가장 작은 것이다.

정의

${\displaystyle K}$가 체라고 하고, ${\displaystyle p(x)\in K[x]}$가 하나의 변수에 대한 ${\displaystyle n}$차 다항식이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle p}$의 ${\displaystyle K}$에 대한 분해체 ${\displaystyle L/K}$는 다음을 만족시키는 ${\displaystyle K}$의 확대이다.

1. 다항식 ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle p(x)=\prod _{i=1}^{\deg p}(x-a_{i})\in L[x]}$로 완전 인수 분해된다.
2. ${\displaystyle L}$은 위 성질은 만족시키는 체의 확대 가운데 그 차수가 가장 작다.

이 성질은 만족시키는 체의 확대는 (동형인 것을 제외하면) 유일함을 보일 수 있다.

구성

체 ${\displaystyle K}$ 및 기약 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$에 대하여, 다음과 같은 체의 확대 ${\displaystyle L/K}$가 존재한다.

${\displaystyle L\cong K[x]/(p(x))}$

여기서 ${\displaystyle (p(x))}$는 ${\displaystyle p(x)}$에 의해 생성되는 ${\displaystyle K[x]}$의 소 아이디얼이다. ${\displaystyle K[x]}$는 주 아이디얼 정역이고, 주 아이디얼 정역에서 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이며, 극대 아이디얼에 대한 몫환은 체를 이루므로, ${\displaystyle L}$이 체임을 알 수 있다. 또한, ${\displaystyle a=x+(p(x))\in L}$은 ${\displaystyle p}$의 근이므로, ${\displaystyle p}$는 ${\displaystyle L}$에서 하나 이상의 근을 가지며, ${\displaystyle \{1,a,a^{2},\dotsc ,a^{\deg p-1}\}\subseteq L}$은 ${\displaystyle L}$의 ${\displaystyle K}$-기저를 이룬다. 그러나 ${\displaystyle L/K}$는 ${\displaystyle p}$의 분해체가 아닐 수 있다.

이제, 체 ${\displaystyle K}$에 대한, ${\displaystyle n}$차 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$의 분해체 ${\displaystyle L}$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• ${\displaystyle K_{0}=K}$
• ${\displaystyle p(x)/((x-a_{1})\dotsm (x-a_{i}))\in K_{i}[x]}$의 기약 인자 ${\displaystyle f_{i}(x)\in K_{i}[x]}$를 고른다.
• ${\displaystyle K_{i+1}=K_{i}[x]/(f_{i}(x))}$
• ${\displaystyle a_{i+1}=x+(f_{i}(x))\in K_{i+1}}$
• ${\displaystyle L=K_{n}}$

이는 ${\displaystyle f_{i}}$의 선택에 (체의 확대의 동형을 무시하면) 관계없음을 보일 수 있다.

예

복소수체 ${\displaystyle \mathbb {C} }$는 실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$에 대하여 기약 다항식 ${\displaystyle x^{2}+1}$의 분해체다. 즉,

${\displaystyle \mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$

이다.

유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$에 대하여 기약 다항식 ${\displaystyle x^{3}-2}$의 분해체는

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\exp(2\pi i/3))}$

이다.

같이 보기

• 최소 다항식
• 정규 확대
• 갈루아 확대

외부 링크

• “Splitting field of a polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Splitting field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.