정규 확대

체론에서 정규 확대(正規擴大, 영어: normal extension)는 일련의 다항식들의 분해체인 대수적 확대이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$의 대수적 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수적 확대를 정규 확대라고 한다.

• ${\displaystyle K[x]}$의 기약 다항식 ${\displaystyle p(x)}$가 ${\displaystyle L}$에서 적어도 하나의 근을 갖는다고 하면, ${\displaystyle p(x)}$는 ${\displaystyle L[x]}$에서 완전히 인수분해된다. 즉, ${\displaystyle p(x)=a\prod _{i=1}^{n}(x-b_{i})}$ (${\displaystyle a,b_{i}\in L}$)의 꼴로 나타낼 수 있다.
• ${\displaystyle L/K}$는 일련의 다항식들의 집합 ${\displaystyle P\subset K[x]}$의 분해체와 (${\displaystyle K}$의 확대로서) 동형이다.
• 모든 매장 ${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$는 ${\displaystyle L}$의 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을 ${\displaystyle \iota _{KL}\colon K\hookrightarrow L}$로 쓰자. 또한, ${\displaystyle L}$은 대수적 확대이므로, ${\displaystyle K}$의 대수적 폐포 ${\displaystyle \iota _{K{\bar {K}}}\colon K\hookrightarrow {\bar {K}}}$로 가는 매장 ${\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}\colon L\hookrightarrow {\bar {K}}}$이 존재하며, 또한 ${\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}}$이도록 잡을 수 있다. (이는 초른 보조정리를 통해 보일 수 있다.) 그렇다면, 임의의 매장 ${\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\colon L\hookrightarrow {\bar {K}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}}$라면 ${\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}(L)={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)\subset {\bar {K}}}$이다.

증명:

첫째 조건 ⇒ 둘째 조건. 임의의 ${\displaystyle a\in L}$에 대하여, ${\displaystyle p_{a}\in K[x]}$가 ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle K}$에 대한 최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, 가정한 첫째 조건에 따라 ${\displaystyle L}$은 모든 ${\displaystyle p_{a}}$의 모든 근을 포함한다. 즉, ${\displaystyle L}$은 ${\displaystyle \{p_{a}\colon a\in L\}}$의 ${\displaystyle K}$에 대한 어떤 분해체를 포함한다. 임의의 ${\displaystyle a\in L}$은 ${\displaystyle p_{a}}$의 근이므로 이 분해체에 속한다. 즉, ${\displaystyle L}$은 ${\displaystyle \{p_{a}\colon a\in L\}}$의 분해체를 이룬다.

둘째 조건 ⇒ 셋째 조건.

${\displaystyle \iota _{KL}\colon K\to L}$

${\displaystyle \iota _{K{\bar {K}}}\colon K\to {\bar {K}}}$

${\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}\colon L\to {\bar {K}}}$

${\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\colon L\to {\bar {K}}}$

${\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}}$

가 셋째 조건에서 정의한 매장들이라고 하자. 편의상 ${\displaystyle K\subseteq L\subseteq {\bar {K}}}$이며 ${\displaystyle \iota _{KL}}$, ${\displaystyle \iota _{K{\bar {K}}}}$, ${\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}}$가 이에 대응하는 포함 함수들이라고 하자. 이 경우 조건 ${\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}}$는 ${\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}|_{K}=\operatorname {id} _{K}}$가 된다. ${\displaystyle S\subseteq L}$이 ${\displaystyle P}$ 속 다항식들의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면, 가정한 둘째 조건에 따라

${\displaystyle L=K(S)}$

${\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)=K({\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S))}$

이다. 따라서, ${\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)=L}$임을 보이려면 ${\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)=S}$임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\in P}$

가 주어졌다고 하자. 그 ${\displaystyle L[x]}$에서의 인수 분해가

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-b_{1})\cdots (x-b_{n})}$

이라고 하자. 이는 기본 대칭 다항식들이 등장하는 일련의 등식

${\displaystyle a_{0}=(-1)^{n}a_{n}b_{1}\cdots b_{n}}$

${\displaystyle a_{1}=(-1)^{n-1}a_{n}(b_{2}\cdots b_{n}+\cdots +b_{1}\cdots b_{n-1})}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle a_{n}=a_{n}}$

과 동치이다. 여기에 매장 ${\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\colon L\to {\bar {K}}}$를 가하면 ${\displaystyle b_{i}}$가 ${\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{i})}$로 대체된 등식들을 얻는다.

${\displaystyle a_{0}=(-1)^{n}a_{n}{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1})\cdots {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})}$

${\displaystyle a_{1}=(-1)^{n-1}a_{n}({\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{2})\cdots {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})+\cdots +{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1})\cdots {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n-1}))}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle a_{n}=a_{n}}$

${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$은 ${\displaystyle K}$의 원소들이므로 변하지 않는다. 즉, ${\displaystyle p(x)}$의 ${\displaystyle {\bar {K}}}$에서의 인수 분해는

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}))\cdots (x-{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n}))}$

이다. ${\displaystyle {\bar {K}}[x]}$는 유일 인수 분해 정역이므로, ${\displaystyle p(x)}$의 두 인수 분해는 일치한다. 즉, ${\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}}$과 ${\displaystyle \{{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}),\dots ,{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})\}}$은 중복집합으로서 같고, 특히 집합으로서 같다. 그런데 ${\displaystyle S}$는 모든 ${\displaystyle p}$들에 대한 ${\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}}$들의 합집합이며, ${\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)}$는 모든 ${\displaystyle p}$들에 대한 ${\displaystyle \{{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}),\dots ,{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})\}}$들의 합집합이다. 따라서, ${\displaystyle S={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)}$이다.

셋째 조건 ⇒ 첫째 조건. ${\displaystyle K}$를 부분체로 포함하는 ${\displaystyle L}$을 부분체로 포함하는 ${\displaystyle K}$의 대수적 폐포 ${\displaystyle K\subseteq L\subseteq {\bar {K}}}$를 잡자. 기약 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$ 및 ${\displaystyle p}$의 근 ${\displaystyle a\in L}$ 및 ${\displaystyle p}$의 근 ${\displaystyle b\in {\bar {K}}}$가 주어졌다고 하자. 이제, 다음과 같은 함수를 생각하자.

${\displaystyle K(a)\to K(b)}$

${\displaystyle f(a)\mapsto f(b)\qquad (\forall f\in K[x])}$

만약 ${\displaystyle f(a)=g(a)}$라면, ${\displaystyle (f-g)(a)=0}$이므로 ${\displaystyle p(x)\mid f(x)-g(x)}$이며, 따라서 ${\displaystyle f(b)=g(b)}$이다. 즉, 이 함수는 잘 정의된다. 마찬가지로, 만약 ${\displaystyle f(b)=g(b)}$라면 ${\displaystyle f(a)=g(a)}$이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다. 이 함수는 자명하게 환 준동형이다. 또한, 이는 자명하게 전사 함수이며, ${\displaystyle K}$의 원소를 움직이지 않으므로, 체의 확대 ${\displaystyle K(a)/K}$와 ${\displaystyle K(b)/K}$ 사이의 동형 사상을 이룬다. ${\displaystyle L/K(a)}$는 대수적 확대이며, ${\displaystyle {\bar {K}}}$는 ${\displaystyle K(b)}$의 대수적 폐포를 이루므로, 이 동형 사상을 확장하는 체의 매장

${\displaystyle \iota \colon L\hookrightarrow {\bar {K}}}$

${\displaystyle \iota |_{K}=\operatorname {id} _{K}}$

${\displaystyle \iota \colon a\mapsto b}$

가 존재한다. 이는 초른 보조정리을 통해 보일 수 있다. 가정한 셋째 조건에 따라, ${\displaystyle \iota (L)=L}$이며, 특히 ${\displaystyle b=\iota (a)\in \iota (L)=L}$이다. 이에 따라, ${\displaystyle L}$은 ${\displaystyle p}$의 모든 근을 포함하며, ${\displaystyle p}$는 ${\displaystyle L}$에서 1차 다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다.

대수적 확대 ${\displaystyle L/K}$의 정규 폐포(正規閉包, 영어: normal closure)는 다음 두 조건을 만족시키는 체의 확대 ${\displaystyle N/L}$이다.

• ${\displaystyle N/K}$는 정규 확대이다.
• 임의의 중간체 ${\displaystyle L\subseteq M\subseteq N}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle M/K}$가 정규 확대라면, ${\displaystyle M=N}$이다.

임의의 대수적 확대는 정규 폐포를 가지며, 체의 확대의 동형 아래 유일하다. 구체적으로, 임의의 ${\displaystyle a\in L}$에 대하여 ${\displaystyle p_{a}}$가 ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle L/K}$에서의 최소 다항식이라고 하였을 때, ${\displaystyle \{p_{a}\colon a\in L\}\subseteq K[x]}$의 분해체는 ${\displaystyle L/K}$의 정규 폐포를 이룬다. 또한, 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {K}}/L/K}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle {\bar {K}}}$ 속 ${\displaystyle L/K}$의 정규 폐포는 다음과 같다.

${\displaystyle N=K\left(\bigcup _{\sigma \in \hom(L,{\bar {K}})}^{\sigma |_{K}=\operatorname {id} _{K}}\sigma (L)\right)\subseteq {\bar {K}}}$

여기서

${\displaystyle K\left(\bigcup _{i\in I}K_{i}\right)=\left\{{\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}}{b_{1}+\cdots +b_{n}}}\colon a_{1}\in K_{i_{1}},\dots ,a_{m}\in K_{i_{m}},\;b_{1}\in K_{j_{1}},\dots ,b_{n}\in K_{j_{n}},\;i_{1},\dots ,i_{m},j_{1},\dots ,j_{n}\in I\right\}}$

는 주어진 체 ${\displaystyle L/K_{i}/K}$들을 포함하는 최소의 체이다.

분류

임의의 정규 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여,

${\displaystyle M={\begin{cases}K&\operatorname {char} K=0\\\{a\in L|\exists n\in \mathbb {N} \colon a^{p^{n}}\in K\}&\operatorname {char} K=p>0\end{cases}}}$

가 ${\displaystyle L/K}$의 최대 완전 비분해 부분 확대라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle L/M}$은 갈루아 확대이다. (반대로, 완전 비분해 확대의 갈루아 확대는 항상 정규 확대이다.)

성질

체 ${\displaystyle K}$의 유한 차수 대수적 분해 가능 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle L/K}$는 정규 확대이다.
• ${\displaystyle L}$은 어떤 기약 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$의 분해체 ${\displaystyle K[x]/(p)}$와 동형이다.

대수적 확대 ${\displaystyle L/K}$의 정규 폐포 ${\displaystyle N/L}$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• ${\displaystyle L/K}$가 유한 확대라면, ${\displaystyle N/K}$ 역시 유한 확대이다.
• ${\displaystyle L/K}$가 분해 가능 확대라면, ${\displaystyle N/K}$은 갈루아 확대이다. 이 경우 ${\displaystyle N/L}$을 ${\displaystyle L/K}$의 갈루아 폐포(영어: Galois closure)라고 한다.

체의 확대의 탑 ${\displaystyle M/L/K}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle M/K}$가 정규 확대라면, ${\displaystyle M/L}$ 역시 정규 확대이다. 체의 확대의 다이아몬드 ${\displaystyle M\supseteq L,L'\supseteq K}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle L/K}$가 정규 확대라면, ${\displaystyle K(L\cup L')/L'}$ 역시 정규 확대이다. 체의 확대 ${\displaystyle M/K}$의 부분 확대 ${\displaystyle M\supseteq L_{i}\supseteq K}$(${\displaystyle i\in I}$)들에 대하여, 만약 모든 ${\displaystyle L_{i}/K}$가 정규 확대라면, ${\displaystyle \textstyle K\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)/K}$와 ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}L_{i}/K}$ 역시 정규 확대이다. 정규 확대의 정규 확대는 정규 확대일 필요가 없다. 예를 들어, 대수적 확대 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}})/\mathbb {Q} }$는 두 번의 정규 확대

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}})/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$

로 얻어지지만, ${\displaystyle x^{4}-2}$의 허근들을 포함하지 않으므로 정규 확대가 아니다.

예

대수적 확대 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$는 정규 확대이다.

대수적 확대 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbb {Q} }$는 정규 확대가 아니다. ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$의 기약 다항식 ${\displaystyle x^{3}-2}$는 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$에서

${\displaystyle x^{3}-2=(x-{\sqrt[{3}]{2}})\left(x^{2}+{\sqrt[{3}]{2}}x+({\sqrt[{3}]{2}})^{2}\right)}$

이므로 하나의 근을 갖지만 완전히 인수분해되지 않는다.

모든 갈루아 확대는 정규 확대이다. 모든 순수 비분해 확대는 정규 확대이다.

같이 보기

• 갈루아 확대

참고 문헌

• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Normal extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Normal extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.