비표준 해석학

비표준 해석학(非標準解析學, 영어: nonstandard analysis)은 초실수와 그 위의 함수에 대하여 연구하는 해석학의 한 분야이다.

정의

${\displaystyle \mathbb {R} }$이 실수체이고, ${\displaystyle \mathbb {N} }$이 자연수의 모노이드이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$은 실수들의 수열들의 집합이다. 초실수의 체 ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$의 적절한 몫으로 정의된다. 주필터가 아닌 임의의 극대 필터 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$를 고르자. (특히, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 프레셰 필터(여유한 집합들의 필터)를 포함한다.) 이러한 극대 필터는 선택 공리에 따라 항상 존재하지만, 직접 적을 수는 없다. 이 극대 필터를 사용하여, 두 수열 ${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ 사이에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다.

${\displaystyle u\sim v\iff \{n\in \mathbb {N} \colon u_{n}=v_{n}\}\in {\mathcal {F}}}$

이 동치관계에 대한 몫은 곱셈에 대하여 체를 이루며, 이를 초실수의 체로 정의한다.

${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/{\mathcal {F}}}$

실해석학의 구현

실해석학에서 극한을 통해 구현되는 표준적인 여러 연산들은 초실수를 사용하여 대수적으로 정의할 수 있다.

극한과 미분

함수 ${\displaystyle {}^{*}f\colon \mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*}}$의 ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{*}}$에서의 극한은 다음과 같다.

${\displaystyle \lim _{x\to a}{}^{*}f(x)=L\iff \forall b\approx a\colon f(b)\approx L\qquad (L\in \mathbb {R} )}$

함수 ${\displaystyle {}^{*}f\colon {}^{*}\mathbb {R} \to {}^{*}\mathbb {R} }$가 다음 조건을 만족시키면, 연속함수라고 한다.

• 모든 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{*}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x\approx y}$라면 ${\displaystyle f(x)\approx f(y)}$이다.

함수 ${\displaystyle {}^{*}f\colon {}^{*}\mathbb {R} \to {}^{*}\mathbb {R} }$ 및 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$에 대하여, 다음이 성립한다고 하자. 임의의 0이 아닌 두 무한소 ${\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2}\in {}^{*}\mathbb {R} }$에 대하여,

${\displaystyle {\frac {{}^{*}f(x+\epsilon _{1})-f(x)}{\epsilon _{1}}}\approx {\frac {{}^{*}f(x+\epsilon _{2})-f(x)}{\epsilon _{2}}}}$

이 경우 ${\displaystyle {}^{*}f}$는 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$에서 미분 가능하다고 하고, ${\displaystyle f}$의 도함수는

${\displaystyle {}^{*}f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{}^{*}f(x+\epsilon )-{}^{*}f(x)}{\epsilon }}\right)\in \mathbb {R} }$

이다.

1차 논리로 정의할 수 있는 실함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$에 대하여, 이에 대응하는 비표준 확대

${\displaystyle {}^{*}f\colon {}^{\mathbb {R} }\to {}^{*}\mathbb {R} }$

에 대하여, 다음이 동치이다.

• ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to a}{}^{*}f(x)=b}$

또한, 다음이 동치이다.

• ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$에서 ${\displaystyle f}$는 연속함수이다.
• ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$에서 ${\displaystyle {}^{*}f}$는 연속함수이다.

또한, 다음이 동치이다.

• ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$에서 ${\displaystyle f}$는 미분 가능하며, ${\displaystyle f'(a)=b}$이다.
• ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$에서 ${\displaystyle {}^{*}f}$는 미분 가능하며, ${\displaystyle f'(a)=b}$이다.

적분

초실수 체계에서, 리만 적분은 a, a + dx, a + 2dx, ... a + ndx 등으로 나누어지는 무한소의 격자들의 합으로 정의된다. 여기서 dx는 무한소이며, n은 무한의 초정수이며, 적분 구간의 하한 a 와 상한 b = a + n dx인 관계를 따른다.^[1]

예

함수 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$의 도함수는 비표준적으로 다음과 같이 계산할 수 있다. ${\displaystyle dx\in {}^{*}\mathbb {R} }$가 임의의 무한소라고 하자. 그렇다면 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$에 대하여 다음과 같다.

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {(x+dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)=\operatorname {st} (2x+dx)=2x}$