필터 (수학)

순서론에서 필터(영어: filter)는 어떤 원순서 집합의 하향 상집합이며, 반대로 순서 아이디얼(順序ideal, 영어: order ideal)은 어떤 원순서 집합의 상향 하집합이다.

집합 ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$의 멱집합의 하세 도형. 녹색 원소들은 극대 필터를 구성하며, 반대로 흰색 원소들은 극대 순서 아이디얼을 구성한다.

일반위상수학에서 필터의 개념은 점렬의 일반화로 사용되며, 수리논리학에서 필터는 초곱을 정의하는 데 쓰인다. 예를 들어, 초실수의 집합은 자연수 집합 위의 극대 필터를 사용하여 정의된다.

정의

필터와 순서 아이디얼

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$ 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 필터라고 한다.

• ${\displaystyle S}$는 하향 원순서 집합이다.
• ${\displaystyle S}$는 상집합이다.

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$ 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 순서 아이디얼이라고 한다.

• ${\displaystyle S}$는 상향 원순서 집합이다.
• ${\displaystyle S}$는 하집합이다.

소 필터와 소 순서 아이디얼

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 필터 ${\displaystyle S\subseteq X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle X\setminus S}$가 아이디얼이라면, ${\displaystyle S}$를 소 필터(영어: prime filter), ${\displaystyle X\setminus S}$를 소 순서 아이디얼(영어: prime order ideal)이라고 한다.

극대 필터와 극대 순서 아이디얼

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 필터들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 ${\displaystyle \operatorname {Filter} (X,\lesssim )}$을 이루며, 만약 ${\displaystyle X}$가 하향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 ${\displaystyle X\in \operatorname {Filter} (X,\lesssim )}$ 자체이다. 이 경우, ${\displaystyle \operatorname {Filter} (X,\lesssim )\setminus \{X\}}$의 극대 원소를 극대 필터(極大filter, 영어: maximal filter) 또는 초필터(超filter, 영어: ultrafilter 울트라필터^[*])라고 한다.

마찬가지로, 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 순서 아이디얼들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 ${\displaystyle \operatorname {Ideal} (X,\lesssim )}$을 이루며, 만약 ${\displaystyle X}$가 상향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 ${\displaystyle X\in \operatorname {Ideal} (X,\lesssim )}$ 자체이다. 이 경우 ${\displaystyle \operatorname {Ideal} (X,\lesssim )\setminus \{X\}}$의 극대 원소를 극대 순서 아이디얼(極大順序ideal, 영어: maximal order ideal)라고 한다.

(${\displaystyle X}$ 자체를 제외하는 것은 환론에서 극대 아이디얼을 정의할 때 환 자체를 제외하는 것과 유사하다.)

성질

합집합과 교집합

같은 원순서 집합 속의 두 필터의 합집합이나 교집합은 일반적으로 필터가 아니며, 순서 아이디얼의 경우도 마찬가지다. 다만, 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 속의 필터들의 사슬 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \operatorname {Filter} (X,\lesssim )}$에 대하여, 합집합 ${\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {C}}}$은 필터를 이룬다. 그러나 교집합 ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}}$는 여전히 필터가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 순서 아이디얼들의 사슬의 합집합은 순서 아이디얼이지만, 교집합은 순서 아이디얼이 아닐 수 있다.

예를 들어, 자연수 집합 ${\displaystyle \mathbb {N} }$에 서로 비교 불가능한 두 개의 무한대 ${\displaystyle \infty }$, ${\displaystyle \infty '}$를 추가하였을 때,

${\displaystyle F_{i}=\{n\in \mathbb {N} \colon n\geq i\}\cup \{\infty ,\infty '\}}$

는 필터이지만,

${\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }F_{i}=\{\infty ,\infty '\}}$

는 하향 원순서 집합이 아니므로 필터가 아니다.

극대 필터 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 하향 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$
• 필터 ${\displaystyle F\subsetneq X}$
• 최소 원소 ${\displaystyle \bot \in X}$. 즉, 모든 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 ${\displaystyle \bot \lesssim x}$이다.

극대 필터 정리(極大filter定理, 영어: maximal filter theorem)에 따르면, ${\displaystyle F}$를 포함하는 극대 필터가 항상 적어도 하나 이상 존재한다. 이는 초른 보조정리로 쉽게 증명된다.

증명:

부분 순서 집합

${\displaystyle {\mathcal {R}}=\left\{F'\in \operatorname {Filter} (X,\lesssim )\colon F\subseteq F'\neq X\right\}}$

를 생각하자. 초른 보조정리에 따라, ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 속의 모든 사슬이 상계를 가지는 것을 보이면 족하다.

${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 속의 임의의 사슬 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {R}}}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {C}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 상계이다. 이제 ${\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {C}}\neq X}$임을 보이면 족하다.

귀류법을 사용하여, ${\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {C}}=X}$라고 가정하자. 그렇다면

${\displaystyle \bot \lesssim C\in {\mathcal {C}}}$

인 ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$를 찾을 수 있다. 그렇다면 ${\displaystyle C=X\not \in {\mathcal {R}}}$인데, 이는 모순이다.

마찬가지로, 최대 원소를 갖는 상향 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$에서, ${\displaystyle X}$ 전체가 아닌 모든 순서 아이디얼은 극대 순서 아이디얼에 포함된다.

격자

격자 ${\displaystyle L}$의 부분 집합 ${\displaystyle I\subseteq L}$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle I}$는 순서 아이디얼이다.
• 다음 세 조건이 성립한다.
  • 공집합이 아니다.
  • ${\displaystyle x,y\in I}$에 대하여 ${\displaystyle x\lor y\in I}$이다.
  • ${\displaystyle x\in I}$ 및 ${\displaystyle y\in L}$에 대하여 ${\displaystyle x\land y\in I}$이다.
• ${\displaystyle I=\phi ^{-1}(0)}$인 이음 반격자 준동형 ${\displaystyle \phi \colon L\to 2}$가 존재한다.

격자 ${\displaystyle L}$의 부분 집합 ${\displaystyle F\subseteq L}$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle F}$는 필터이다.
• 다음 세 조건이 성립한다.
  • 공집합이 아니다.
  • ${\displaystyle x,y\in F}$에 대하여 ${\displaystyle x\land y\in F}$이다.
  • ${\displaystyle x\in F}$ 및 ${\displaystyle y\in L}$에 대하여 ${\displaystyle x\lor y\in F}$이다.
• ${\displaystyle F=\phi ^{-1}(1)}$인 만남 반격자 준동형 ${\displaystyle \phi \colon L\to 2}$가 존재한다.

격자 ${\displaystyle L}$의 부분 집합 ${\displaystyle I\subseteq L}$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle I}$는 소 순서 아이디얼이다.
• ${\displaystyle L\setminus I}$는 소 필터이다.
• ${\displaystyle I=\phi ^{-1}(0)}$인 격자 준동형 ${\displaystyle \phi \colon L\to 2}$가 존재한다.

필터 격자와 순서 아이디얼 격자

일반적인 격자의 순서 아이디얼/필터들의 부분 순서 집합은 격자일 필요가 없다. 순서 아이디얼들/필터들의 교집합이 공집합일 수 있기 때문이다. 유계 이음 반격자 ${\displaystyle S}$의 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 ${\displaystyle \operatorname {Ideal} (S)}$은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 순서 아이디얼은 그 속의 주 순서 아이디얼들의 상한이며, 모든 주 순서 아이디얼은 순서 아이디얼 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 순서 아이디얼들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq \operatorname {Ideal} (S)}$의 상한과 하한은 다음과 같다.

${\displaystyle \bigvee {\mathcal {I}}=\{x\in S\colon x\leq i_{1}\vee \cdots \vee i_{n},\;i_{k}\in I_{k},\;k=1,\dots ,n,\;I_{1},\dots ,I_{n}\in {\mathcal {I}},\;n=1,2,\dots \}}$

${\displaystyle \bigwedge {\mathcal {I}}=\bigcap {\mathcal {I}}}$

쌍대적으로, 유계 만남 반격자 ${\displaystyle S}$의 필터들의 부분 순서 집합 ${\displaystyle \operatorname {Filter} (S)}$은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 필터는 그 속의 주 필터들의 상한이며, 모든 주 필터는 필터 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 필터들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Filter} (S)}$의 상한과 하한은 다음과 같다.

${\displaystyle \bigvee {\mathcal {F}}=\{x\in S\colon x\geq f_{1}\wedge \cdots \wedge f_{n},\;f_{k}\in F_{k},\;k=1,\dots ,n,\;F_{1},\dots ,F_{n}\in {\mathcal {F}},\;n=1,2,\dots \}}$

${\displaystyle \bigwedge {\mathcal {F}}=\bigcap {\mathcal {F}}}$

반대로 모든 대수적 격자는 어떤 유계 이음 반격자의 순서 아이디얼 격자와 동형이며, 마찬가지로 어떤 유계 만남 반격자의 필터 격자와 동형이다.^{[1]:53, Theorem 42}

격자 ${\displaystyle L}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{[1]:111, Corollary 104}

• 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 ${\displaystyle \operatorname {Ideal} (L)}$은 분배 격자이다.
• 필터들의 부분 순서 집합 ${\displaystyle \operatorname {Filter} (L)}$은 분배 격자이다.
• ${\displaystyle L}$은 분배 격자이다.

볼록 부분 격자

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$가 다음 두 조건을 만족시키면, (순서) 볼록 집합(영어: (order) convex set)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x,y\in S}$ 및 ${\displaystyle z\in X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x\lesssim z\lesssim y}$라면, ${\displaystyle z\in S}$

격자 ${\displaystyle L}$의 순서 아이디얼 ${\displaystyle I}$와 필터 ${\displaystyle F}$의 교집합 ${\displaystyle I\cap F}$는 항상 ${\displaystyle L}$의 볼록 부분 격자이다. 반대로, 모든 공집합이 아닌 볼록 부분 격자는 순서 아이디얼과 필터의 교집합으로 유일하게 나타낼 수 있다.^{[1]:34, Lemma 9}

증명:

격자 ${\displaystyle L}$의 순서 아이디얼 ${\displaystyle I}$와 필터 ${\displaystyle F}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle I}$와 ${\displaystyle F}$가 부분 격자이므로, 교집합 역시 부분 격자이다. ${\displaystyle x,y\in I\cap F}$ 및 ${\displaystyle z\in L}$이 주어졌고, ${\displaystyle x\leq z\leq y}$라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle I}$가 하집합이므로 ${\displaystyle z\in I}$이며, ${\displaystyle F}$가 상집합이므로 ${\displaystyle z\in F}$이다. 따라서, ${\displaystyle I\cap F}$는 ${\displaystyle L}$의 볼록 부분 격자이다.

반대로, ${\displaystyle L}$의 볼록 부분 격자 ${\displaystyle S}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle S}$는 상향 집합이자 하향 집합이다. ${\displaystyle S}$를 포함하는 최소의 순서 아이디얼 ${\displaystyle \mathop {\downarrow } S}$ 및 필터 ${\displaystyle \mathop {\uparrow } S}$를 생각하자. 그렇다면, 자명하게 ${\displaystyle S\subseteq \mathop {\downarrow } S\cap \mathop {\uparrow } S}$이다. 또한, ${\displaystyle S}$가 볼록 부분 격자이므로 ${\displaystyle \mathop {\downarrow } S\cap \mathop {\uparrow } S\subseteq S}$이다. 따라서 ${\displaystyle S}$는 순서 아이디얼 ${\displaystyle \mathop {\downarrow } S}$와 필터 ${\displaystyle \mathop {\uparrow } S}$의 교집합이다.

이제, ${\displaystyle L}$의 볼록 부분 격자 ${\displaystyle S=I\cap F}$가 순서 아이디얼 ${\displaystyle I}$와 필터 ${\displaystyle F}$의 교집합이라고 하자. 쌍대성에 따라, ${\displaystyle I=\mathop {\downarrow } S}$를 보이면 족하다. ${\displaystyle S\subseteq I}$이므로 ${\displaystyle \mathop {\downarrow } S\subseteq I}$이다. 반대로 ${\displaystyle x\in I}$라고 하자. 임의의 ${\displaystyle y\in S}$를 취하자. 그렇다면, ${\displaystyle y\in I}$이므로 ${\displaystyle x\vee y\in I}$이며, ${\displaystyle y\in F}$이므로 ${\displaystyle x\vee y\in F}$이다. 즉, ${\displaystyle x\vee y\in S}$이다. ${\displaystyle x\leq x\vee y}$이므로, ${\displaystyle x\in \mathop {\downarrow } S}$이다.

불 대수

불 대수 ${\displaystyle (B,\lor ,\land ,\lnot )}$는 다음과 같이 표준적으로 가환환으로 여길 수 있다.

${\displaystyle xy=x\land y}$

${\displaystyle x+y=(x\lor y)\land \lnot (x\land y)}$

또한, 불 대수 ${\displaystyle (B,\lor ,\land ,\lnot )}$는 다음과 같이 표준적으로 부분 순서 집합으로 여길 수 있다.

${\displaystyle x\leq y\iff x=x\land y\iff y=x\lor y}$

그렇다면, ${\displaystyle B}$의 순서 아이디얼의 개념은 가환환으로서의 아이디얼의 개념과 일치한다.

불 대수 ${\displaystyle B}$ 위의 필터 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$는 극대 필터이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in B}$에 대하여, ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$이거나 ${\displaystyle \lnot x\in {\mathcal {U}}}$이다.
• ${\displaystyle B\setminus {\mathcal {U}}}$는 극대 순서 아이디얼이다.

그물의 유도 필터

집합 ${\displaystyle X}$와 상향 원순서 집합 ${\displaystyle (I,\lesssim )}$ 및 그물 ${\displaystyle x_{\bullet }\colon I\to X}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$의 꼬리들의 집합

${\displaystyle \left\{\{x_{i'}\colon i\lesssim i'\}\colon i\in I\right\}}$

은 하향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 필터

${\displaystyle \left\{S\subseteq X\colon \exists i\in I\colon \{x_{i'}\colon i\lesssim i'\}\subseteq S\right\}}$

를 그물 ${\displaystyle x_{\bullet }}$의 유도 필터(영어: derived filter)라고 한다.

마찬가지로, 집합 ${\displaystyle Y}$와 하향 원순서 집합 ${\displaystyle (J,\lesssim )}$ 및 함수 ${\displaystyle y_{\bullet }\colon J\to Y}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle (y_{j})_{j\in J}}$의 머리들의 집합

${\displaystyle \left\{\{y_{j'}\colon j'\lesssim j\}\colon j\in J\right\}}$

은 상향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 아이디얼

${\displaystyle \left\{S\subseteq Y\colon \exists j\in J\colon \{x_{j'}\colon j'\lesssim j\}\subseteq S\right\}}$

를 ${\displaystyle y_{\bullet }}$의 유도 순서 아이디얼(영어: derived order ideal)라고 한다.

수열은 그물의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다.

필터에 대응되는 그물

모든 그물에 필터가 대응되는 것처럼, 모든 필터에도 그물을 대응시킬 수 있다. 따라서, 위상 수학에서 그물 이론과 필터 이론은 사실상 동치이다.^[2]

집합 ${\displaystyle X}$의 멱집합 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$의 부분 집합 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$가 주어졌을 때, 집합

${\displaystyle I=\{(x,A)\colon x\in A\in {\mathcal {F}}\}\subseteq X\times {\mathcal {F}}}$

에 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

${\displaystyle (x,A)\lesssim (y,B)\iff A\subseteq B}$

만약 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 상향 원순서 집합이며 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \{\varnothing \}}$이라면 ${\displaystyle I}$ 역시 상향 원순서 집합이며,

${\displaystyle n\colon I\to X}$

${\displaystyle n\colon (x,A)\mapsto x}$

는 그물을 이룬다. 반대로, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 하향 원순서 집합이며 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq {\mathcal {P}}(X)}$라면 ${\displaystyle I}$ 역시 하향 원순서 집합이며,

${\displaystyle n\colon I^{\operatorname {op} }\to X}$

${\displaystyle n\colon (x,A)\mapsto x}$

는 그물을 이룬다.

멱집합 위의 필터

집합 ${\displaystyle X}$의 멱집합 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$ 위의 필터 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$는 극대 필터이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {U}}\neq {\mathcal {P}}(X)}$이며, 임의의 ${\displaystyle A,B\subseteq X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {U}}}$라면 ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$이거나 ${\displaystyle B\in {\mathcal {U}}}$이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {U}}\neq {\mathcal {P}}(X)}$이며, 임의의 ${\displaystyle A\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$이거나 ${\displaystyle X\setminus A\in {\mathcal {U}}}$이다.

따라서, 집합 ${\displaystyle X}$의 멱집합 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$ 위의 극대 필터 ${\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$는 대략 "대부분"의 개념의 추상화로 여길 수 있다. 즉, 어떤 집합의 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$는 "대부분"이거나 (${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$), 아니면 그 여집합이 "대부분"이다 (${\displaystyle X\setminus A\in {\mathcal {U}}}$).

한원소 부분 집합에 대한 주 필터

${\displaystyle \uparrow \{x\}=\{S\subseteq X\colon x\in S\}}$

는 극대 필터이다. 유한 집합의 멱집합 위의 극대 필터는 모두 위와 같은 꼴이다.

완비 극대 필터

기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle \kappa }$-완비 극대 필터(영어: ${\displaystyle \kappa }$-complete maximal filter)는 다음 성질을 만족시키는, 집합 위의 극대 필터 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$이다.

• 임의의 ${\displaystyle {\mathcal {V}}\subset {\mathcal {U}}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle |V|<\kappa }$라면 ${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {V}}\in {\mathcal {U}}}$이다.

정의에 따라, 모든 극대 필터는 ${\displaystyle \aleph _{0}}$-완비 극대 필터이다.

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 극대 필터 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$의 완비성 ${\displaystyle \kappa }$는 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 기수이다.

• ${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {V}}\not \in {\mathcal {U}}}$이며 ${\displaystyle |{\mathcal {V}}|=\kappa }$인 ${\displaystyle {\mathcal {V}}\subset {\mathcal {U}}}$가 존재한다.

만약 완비성이 존재한다면, 완비성은 정의에 따라 항상 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ 이상이다. 주 극대 필터의 경우, 완비성이 존재하지 않는다.

예

자명한 필터

임의의 하향 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 속에서, ${\displaystyle X}$ 자체는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 상향 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 속에서, ${\displaystyle X}$ 자체는 순서 아이디얼을 이룬다.

주 필터와 주 아이디얼

어떤 원소 ${\displaystyle x}$를 포함하는 가장 작은 필터를 주 필터(영어: principal filter)로 부르며,

${\displaystyle \uparrow x=\{y\in X\colon x\lesssim y\}}$

로 표기한다. 어떤 원소 ${\displaystyle x}$를 포함하는 가장 작은 아이디얼을 주 순서 아이디얼(영어: principal order ideal)로 부르며,

${\displaystyle \downarrow x=\{y\in X\colon y\lesssim x\}}$

로 표기한다.

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 극소 필터는 그 극대 원소로 생성되는 주 필터이다. 마찬가지로, 원순서 집합의 극소 순서 아이디얼은 그 극소 원소로 생성되는 주 순서 아이디얼이다.

프레셰 필터

집합 ${\displaystyle S}$ 및 무한 기수 ${\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa }$에 대하여,

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\kappa }(S)=\{T\subset S\colon |S\setminus T|<\kappa \}}$

는 ${\displaystyle S}$위의 필터를 이룬다. 만약 ${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}}$이라면, 이는 쌍대유한집합들의 집합이며, 이를 프레셰 필터(영어: Fréchet filter)라고 한다.

근방 필터

 이 부분의 본문은 근방 필터입니다.

위상 공간에서, 주어진 점의 모든 근방들은 근방 필터라는 필터를 이룬다. 필터가 주어진 점에 수렴한다는 것은 근방 필터를 포함하는 것을 의미한다.

역사

순서 아이디얼의 개념은 불 대수에 대하여 1934년에 마셜 하비 스톤이 도입하였다.^[3] "순서 아이디얼"이라는 이름은 불 대수의 순서 아이디얼은 가환환으로서의 아이디얼과 일치하기 때문에 사용되었다. 1937년에 스톤은 순서 아이디얼을 격자에 대하여 "μ-아이디얼"(영어: μ-ideal)이라는 이름으로 일반화하였다.^{[4]:3, Definition 1} 마찬가지로, 스톤은 격자 속의 필터를 "α-아이디얼"(영어: α-ideal)이라고 명명하였다.^{[4]:4, Definition 1}

이와 독자적으로, 앙리 카르탕은 1937년에 점렬의 개념을 일반화하여 "필터"(프랑스어: filtre 필트르^[*])와 "초필터"(프랑스어: ultrafiltre 윌트라필트르^[*])라는 용어를 도입하였다.^[5][6] 이후 니콜라 부르바키가 이 개념을 널리 사용하여 대중화하였다.