빈 근사법

빈 근사법(영어: Wien approximation, 때때로 빈 법칙(영어: Wien's law) 또는 빈 분포 법칙(영어: Wien distribution law)이라고도 함)은 흑체 함수라고 자주 불리는 열 복사 스펙트럼을 설명하는 데 사용되는 물리학 법칙이다. 이 법칙은 1896년 빌헬름 빈에 의해 처음 유도되었다.^[1][2][3] 이 방정식은 물체에서 방출되는 열의 짧은 파장 (높은 진동수) 스펙트럼을 정확하게 설명하지만, 긴 파장 (낮은 진동수) 방출에 대한 실험 데이터와는 정확하게 일치하지 않는다.^[3]

빈 곡선과 플랑크 곡선의 비교

상세

빈은 플랑크가 복사의 양자화를 도입하기 수년 전, 열역학적 논증으로부터 자신의 법칙을 유도했다.^[1]

빈의 원래 논문에는 플랑크 상수가 포함되어 있지 않았다.^[1] 이 논문에서 빈은 흑체 복사의 파장을 원자의 맥스웰-볼츠만 통계와 결합했다. 지수 곡선은 오일러 수 e를 온도에 상수를 곱한 값으로 거듭제곱하여 생성되었다. 기본 상수는 나중에 막스 플랑크에 의해 도입되었다.^[4]

이 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[5] $${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\text{B}}T}}},}$$ (이 근사법의 간단한 지수 진동수 의존성에 주목하라) 또는 자연 플랑크 단위를 도입하면, $${\displaystyle I(\nu ,x)=2\nu ^{3}e^{-x},}$$ 여기서:

• ${\displaystyle I(\nu ,T)}$는 진동수 ν에서 방출되는 단위 겉넓이당 단위 시간당 단위 입체각당 단위 진동수당 에너지의 양으로, 스펙트럼 복사량이라고 불린다.
• ${\displaystyle T}$는 흑체의 온도이다.
• ${\displaystyle x}$는 진동수와 온도의 비율이다.
• ${\displaystyle h}$는 플랑크 상수이다.
• ${\displaystyle c}$는 빛의 속력이다.
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$는 볼츠만 상수이다.

이 방정식은 다음과 같이도 쓸 수 있다.^[3][6] $${\displaystyle I(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}},}$$ 여기서 ${\displaystyle I(\lambda ,T)}$는 파장 λ에서 방출되는 단위 겉넓이당 단위 시간당 단위 입체각당 단위 파장당 에너지의 양이다. 빈은 자신의 원래 논문에서 프리드리히 파셴이 파셴의 실험 관찰을 기반으로 동일한 공식을 제공했다고 인정한다.^[1]

이 곡선의 최댓값은 방정식의 미분을 0으로 설정하고 풀어서 결정되며,^[7] 파장 $${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{5k_{\text{B}}T}}\approx {\frac {\mathrm {0.2878~cm\cdot K} }{T}},}$$ 진동수 $${\displaystyle \nu _{\text{max}}={\frac {3k_{\text{B}}T}{h}}\approx \mathrm {6.25\times 10^{10}~{\frac {Hz}{K}}} \cdot T.}$$ 에서 발생한다.

플랑크 법칙과의 관계

빈 근사법은 원래 열 복사의 전체 스펙트럼을 설명하기 위해 제안되었지만, 긴 파장(낮은 진동수) 방출을 정확하게 설명하지 못했다. 그러나 곧 플랑크 법칙에 의해 대체되었는데, 플랑크 법칙은 복사를 광자 기체로 취급하고 accordingly 보스-아인슈타인 통계를 맥스웰-볼츠만 통계 대신 적용함으로써 전체 스펙트럼을 정확하게 설명한다. 플랑크 법칙은 다음과 같이 주어진다.^[5] $${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}.}$$

빈 근사법은 ${\displaystyle h\nu \gg kT}$를 가정함으로써 플랑크 법칙에서 유도될 수 있다. 이것이 사실일 때,^[5] $${\displaystyle {\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\approx e^{-{\frac {h\nu }{kT}}},}$$ 따라서 빈 근사법은 진동수가 증가함에 따라 플랑크 법칙에 점점 더 가까워진다.

열 복사의 다른 근사법

레일리-진스 법칙은 열 복사의 긴 파장 스펙트럼을 정확하게 설명하는 데 사용될 수 있지만, 짧은 파장 스펙트럼은 설명하지 못한다.^[3][5]

같이 보기

• ASTM Subcommittee E20.02 on Radiation Thermometry
• 사쿠마-핫토리 방정식
• 자외선 파탄
• 빈 변위 법칙