사쿠마-핫토리 방정식

물리학에서 사쿠마-핫토리 방정식(영어: Sakuma–Hattori equation)은 완전한 흑체에서 방출되거나 열복사 검출기에 의해 수신되는 열복사, 방사속 또는 방사 전력의 양을 예측하는 수학적 모델이다.

역사

사쿠마-핫토리 방정식은 1982년 사쿠마 후미히로(Fumihiro Sakuma), 오노 아키라(Akira Ono), 핫토리 스스무(Susumu Hattori)가 처음 제안했다.^[1] 1996년에는 사쿠마-핫토리 방정식의 다양한 형태의 유용성을 조사한 연구가 있었다. 이 연구는 플랑크 형태가 대부분의 응용 분야에 가장 적합한 결과를 제공한다는 것을 보여주었다.^[2] 이 연구는 세 개 이하의 피팅 변수를 포함하는 사쿠마-핫토리 방정식의 10가지 다른 형태에 대해 수행되었다. 2008년에 BIPM CCT-WG5는 960°C 미만의 복사 온도계 측정 불확실성 예산에 이 방정식을 사용할 것을 권장했다.^[3]

일반 형태

사쿠마-핫토리 방정식은 물체의 온도를 기반으로 열복사에서 발생하는 전자기파 신호를 나타낸다. 이 신호는 전자기 선속이거나 이 복사를 측정하는 검출기에 의해 생성된 신호일 수 있다. 은점^[a] 미만에서는 사쿠마-핫토리 방정식을 사용하는 방법이 사용될 것을 제안했다.^[1] 일반적인 형태는 다음과 같다.^[3] $${\displaystyle S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda _{x}T}}\right)-1}},}$$ 여기서:

• ${\displaystyle C}$는 스칼라 계수이다.
• ${\displaystyle c_{2}}$는 두 번째 복사 상수(0.014387752 m⋅K^[6])이다.
• ${\displaystyle \lambda _{x}}$는 온도에 의존하는 유효 파장(미터 단위)이다.
• ${\displaystyle T}$는 절대 온도(K 단위)이다.

플랑크 형태

유도

플랑크 형태는 다음 대체식으로 실현된다. $${\displaystyle \lambda _{x}=A+{\frac {B}{T}}}$$

이 대입을 통해 사쿠마-핫토리 방정식은 플랑크 형태로 변환된다.

사쿠마-핫토리 방정식 (플랑크 형태)

${\displaystyle S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {c_{2}}{AT+B}}\right)-1}}}$

역방정식^[7]

${\displaystyle T={\frac {c_{2}}{A\ln \left({\frac {C}{S}}+1\right)}}-{\frac {B}{A}}}$

1차 미분^[8]

${\displaystyle {\frac {dS}{dT}}=\left[S(T)\right]^{2}{\frac {Ac_{2}}{C\left(AT+B\right)^{2}}}\exp \left({\frac {c_{2}}{AT+B}}\right)}$

논의

플랑크 형태는 복사 온도계^[3] 및 적외선 온도계^[7]의 불확실성 예산을 계산하는 데 사용하도록 권장된다. 또한 은점 이하의 복사 온도계 교정에도 사용하도록 권장된다.^[3]

플랑크 형태는 플랑크 법칙과 유사하다.

$${\displaystyle S(T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}\left[\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1\right]}}}$$

그러나 사쿠마-핫토리 방정식은 저온, 광대역 복사 온도계를 고려할 때 매우 유용하다. 넓은 스펙트럼 대역에서 플랑크 법칙을 사용하려면 다음과 같은 적분을 고려해야 한다.

$${\displaystyle S(T)=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}{\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}\left[\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1\right]}}d\lambda }$$

이 적분은 불완전 다중로그 함수를 생성하여 사용이 매우 번거로울 수 있다. 표준 수치 처리는 불완전 적분을 기하급수적 급수로 확장한다. $${\displaystyle \int _{0}^{\lambda _{2}}{\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}\left[\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1\right]}}d\lambda =c_{1}\left({\frac {T}{c_{2}}}\right)^{4}\int _{c_{2}/(\lambda _{2}T)}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx}$$ ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {c_{2}}{xT}},\ d\lambda ={\tfrac {-c_{2}}{x^{2}Tdx}}}$를 대입한 후, $${\displaystyle {\begin{aligned}J(c)&\equiv \int _{c}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx=\int _{c}^{\infty }{\frac {x^{3}e^{-x}}{1-e^{-x}}}dx\\[4pt]&=\int _{c}^{\infty }\sum _{n\geq 1}x^{3}e^{-nx}dx\\[4pt]&=\sum _{n\geq 1}e^{-nc}{\frac {(nc)^{3}+3(nc)^{2}+6nc+6}{n^{4}}}\end{aligned}}}$$ 는 합이 특정 차수에서 잘릴 경우 근사치를 제공한다.

위에 제시된 사쿠마-핫토리 방정식은 조사된 여러 대안 중에서 복사 온도계 눈금의 보간에 가장 적합한 곡선 적합도를 제공하는 것으로 밝혀졌다.^[2]

역 사쿠마-핫토리 함수는 반복 계산 없이 사용할 수 있다. 이는 플랑크 법칙의 적분에 대한 추가적인 장점이다.

다른 형태

1996년 논문에서는 10가지 다른 형태를 조사했다. 이들은 실제 방사 측정 데이터에 대한 곡선 적합도의 품질 순서로 아래 표에 나열되어 있다.^[2]

이름	방정식	대역폭	플랑크형
사쿠마-핫토리 플랑크 III	${\displaystyle S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {c_{2}}{AT+B}}\right)-1}}}$	좁음	예
사쿠마-핫토리 플랑크 IV	${\displaystyle S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {A}{T^{2}}}+{\frac {B}{2T}}\right)-1}}}$	좁음	예
사쿠마-핫토리 – 빈의 II	${\displaystyle S(T)=C\exp \left({\frac {-c_{2}}{AT+B}}\right)}$	좁음	아니요
사쿠마-핫토리 플랑크 II	${\displaystyle S(T)={\frac {CT^{A}}{\exp \left({\frac {B}{T}}\right)-1}}}$	넓고 좁음	예
사쿠마-핫토리 – 빈의 I	${\displaystyle S(T)=CT^{A}{\exp \left({\frac {-B}{T}}\right)}}$	넓고 좁음	아니요
사쿠마-핫토리 플랑크 I	${\displaystyle S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {c_{2}}{AT}}\right)-1}}}$	단색	예
신형	${\displaystyle S(T)=C\left(1+{\frac {A}{T}}\right)-B}$	좁음	아니요
빈의	${\displaystyle S(T)=C\exp \left({\frac {-c_{2}}{AT}}\right)}$	단색	아니요
유효 파장 – 빈의	${\displaystyle S(T)=C\exp \left({\frac {-A}{T}}+{\frac {B}{T^{2}}}\right)}$	좁음	아니요
지수	${\displaystyle S(T)=CT^{A}}$	넓음	아니요

같이 보기

• 슈테판-볼츠만 법칙
• 플랑크 법칙
• 레일리-진스 법칙
• 빈 근사법
• 빈 변위 법칙
• 키르히호프의 복사 법칙
• 적외선 온도계
• 고온계
• 얇은 필라멘트 고온계
• 열화상
• 흑체
• 열복사
• 방사휘도
• 복사율
• ASTM Subcommittee E20.02 on Radiation Thermometry

내용주

1. 은점은 은의 녹는점인 962°C [(961.961 ± 0.017)°C^[4]]로, 일부 온도 스케일에서 교정점으로 사용된다.^[5] 이는 안정적이고 재현하기 쉽기 때문에 IR 온도계를 교정하는 데 사용된다.