빛원뿔 좌표계

이론물리학에서 빛원뿔 좌표계(빛圓뿔座標系, 영어: lightcone coordinate system) 또는 광추 좌표계(光錐座標系)란 민코프스키 공간의 좌표계의 하나다. 이 좌표계에서는 공간의 한 특정한 방향을 차별하여, 그 방향에 대한 인과성 구조를 명확히 드러낸다.

정의

${\displaystyle (1,D-1)}$차원 민코프스키 공간의 직교 좌표계 ${\displaystyle (x^{0},x^{1},\dots ,x^{D-1})}$를 생각하자. 직교 좌표계에서는 그 계량 텐서는

${\displaystyle ds^{2}=-(dx^{0})^{2}+\sum _{i=1}^{D-1}(dx^{i})^{2}}$

가 된다. 여기서

${\displaystyle x^{\pm }=(x^{1}\pm x^{0})/{\sqrt {2}}}$

를 정의하면, 빛원뿔 좌표계는 ${\displaystyle (x^{+},x^{-},x^{2},\dots ,x^{D-1})}$이다. 빛원뿔 좌표계에서 계량 텐서는 다음과 같다.

${\displaystyle ds^{2}=2dx^{+}dx^{-}+\sum _{i=2}^{D-1}(dx^{i})^{2}}$

이 경우,

${\displaystyle x_{\pm }=2x^{\mp }}$

가 된다.

무질량 입자의 1차 양자화

빛원뿔 좌표계는 등각 불변이므로, 질량이 0인 입자나 막 따위를 다룰 때 용이하다.

예를 들어, ${\displaystyle (1,D-1)}$차원 시공간에서의 무질량 입자를 생각하자. 질량이 0이므로, 이는

${\displaystyle \operatorname {SO} (2,D)}$

등각 대칭을 갖는다.

이 입자의 작용은

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} t\,{\frac {1}{2}}e(t)^{2}{\dot {x}}^{\mu }(t){\dot {x}}_{\mu }(x)}$

이다. 여기서 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$는 세계선의 임의의 좌표이며,

${\displaystyle x^{\mu }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{1,D-1}}$

는 입자의 위치를 나타내는 ${\displaystyle t}$의 함수이며,

${\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x^{\mu }}$

는 ${\displaystyle t}$에 대한 속력이며,

${\displaystyle e\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}}$

는 세계선 위의 필바인이다. 그러나 이 작용에서는 등각 대칭이 명백히 드러나지 못한다.

이를 위하여, 가상의 “시간” 차원과 “공간” 차원을 추가하여, 민코프스키 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2,D}}$을 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 작용을 적을 수 있다.^{[1]:§2, 2715}

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} t\left({\frac {1}{2}}{\dot {X}}^{M}{\dot {X}}_{M}-{\frac {1}{2}}\lambda X^{M}X_{M}\right)}$

${\displaystyle X^{M}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2,D}}$

${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

이는 다음과 같은 게이지 대칭을 갖는다.

${\displaystyle \delta X(t)=\epsilon (t){\dot {X}}^{M}(t)-{\frac {1}{2}}{\dot {\epsilon }}(t)X^{M}}$

${\displaystyle \delta \lambda (t)=\epsilon (t){\dot {\lambda }}(t)+2{\dot {\epsilon }}(t)\lambda (t)+{\frac {1}{2}}{\overset {\cdots }{\epsilon }}(t)}$

이제, 보조장 ${\displaystyle \lambda }$의 운동 방정식은

${\displaystyle X^{M}X_{M}=0}$

이다. 새로 추가한 두 차원의 빛원뿔 좌표를

${\displaystyle X^{M}X_{M}=X^{\mu }X_{\mu }+2X_{+}X_{-}}$

라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle X_{-}=-{\frac {X^{\mu }X_{\mu }}{2X_{+}}}}$

가 된다. 이제

${\displaystyle e=X_{+}}$

${\displaystyle x^{\mu }=X^{\mu }/X_{+}}$

로 놓으면,

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} t\,{\dot {X}}^{M}{\dot {X}}_{M}={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} t\,\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(ex^{\mu }){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(ex_{\mu })-{\dot {e}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(x^{\mu }x_{\mu }e)\right)={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} t\,e^{2}{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }}$

가 되어, 원래 작용을 얻게 된다.