사다리꼴 공식

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수치 해석에서 사다리꼴 공식(-公式, 영어: trapezoidal rule)은 정적분을 근사하는 한 수치적분 방법이다.^[1] 사다리꼴 공식은 적분이 나타내는 넓이를 일련의 사다리꼴들의 넓이의 합으로 근사한다. 사다리꼴 공식은 뉴턴-코츠 공식이라는 적분 근사법들의 족(族)의 특수한 경우이며, 매끄러운 함수의 경우 비슷한 계산 복잡도를 갖는 심프슨의 법칙보다 일반적으로 덜 정확하다. 반면, 주기 함수를 적분할 때 사다리꼴 공식은 특별히 더 정확한데, 이는 오일러-매클로린 합산식으로 설명이 가능하다. 반면, 비주기적이며, 매끄럽지 않을 수 있는 함수를 적분할 때에는 클렌쇼-커티스 구적법 또는 가우스 구적법 따위가 더 적합하다.

사다리꼴 근사. 적분될 함수의 이계도함수가 음수이므로, 사다리꼴 공식 근사는 실제 정적분보다 더 작다.

${\displaystyle N=1}$일 경우의 사다리꼴 근사는 임의의 함수를 선형 함수로 어림한다.

정의

닫힌구간 ${\displaystyle [t_{0},t_{N}]}$ 위의 적분 가능 함수

${\displaystyle f\colon [t_{0},t_{N}]\to \mathbb {R} }$

및 수열

${\displaystyle t_{0}\leq t_{1}\leq \dotsc \leq t_{N-1}\leq t_{N}}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한, 적분

${\displaystyle F=\int _{t_{0}}^{t_{N}}f(x)\,\mathrm {d} x}$

의 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.

${\displaystyle {\tilde {F}}=\sum _{i=0}^{N-1}{\frac {(t_{i+1}-t_{i})(f(t_{i+1})+f(t_{i}))}{2}}}$

특히, ${\displaystyle N=1}$일 때 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.

${\displaystyle {\tilde {F}}={\frac {(t_{1}-t_{0})(f(t_{1})+f(t_{0}))}{2}}}$

성질

사다리꼴 공식 근사의 오차

${\displaystyle {\tilde {F}}-F}$

를 생각하자. 만약 ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ 함수라면 (즉, 그 2차 도함수가 존재하며 연속 함수라면), 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle \xi \in [t_{0},t_{N}]}$가 존재한다.

${\displaystyle {\tilde {F}}-F={\frac {1}{12}}f''(\xi )\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}}$

증명:

다음과 같은 함수들을 정의하자.

${\displaystyle g_{i}\colon [0,t_{i+1}-t_{i}]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle g_{i}(s)={\frac {1}{2}}s(f(t_{i})+f(t_{i}+s))-\int _{t_{i}}^{t_{i}+t}f(x)\,\mathrm {d} x}$

즉,

${\displaystyle {\tilde {F}}-F=\sum _{i=0}^{N-1}g_{i}(t_{i+1}-t_{i})}$

이다. 그러면

${\displaystyle g_{i}(0)=g_{i}'(0)=g_{i}''(0)=0}$

${\displaystyle g_{i}'(s)={\frac {1}{2}}\left(f(t_{i})-f(t_{i}+s)\right)+{\frac {1}{2}}sf'(t_{i}+s)}$

${\displaystyle g_{i}''(s)={\frac {1}{2}}sf''(t_{i}+s)}$

이다. 즉,

${\displaystyle K=\min _{x\in [t_{0},t_{N}]}f''(x)}$

${\displaystyle L=\max _{x\in [t_{0},t_{N}]}f''(x)}$

를 정의하면,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}Ks\leq g''_{i}(s)\leq {\frac {1}{2}}Ls}$

이며, 이를 두 번 적분하면

${\displaystyle {\frac {1}{12}}Ks^{3}\leq g_{i}(s)\leq {\frac {1}{12}}Ls^{3}}$

가 된다. 즉,

${\displaystyle {\frac {K}{12}}\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}\leq {\tilde {F}}-F\leq {\frac {L}{12}}\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}}$

이다. ${\displaystyle f''}$가 연속 함수라고 가정하였으므로, 중간값 정리에 따라

${\displaystyle f''(\xi )={\frac {{\tilde {F}}-F}{\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}}}}$

인 ${\displaystyle \xi \in [t_{0},t_{N}]}$가 존재한다.

특히, 만약 ${\displaystyle t_{i}}$들이 산술 수열을 이룬다면,

${\displaystyle {\frac {1}{12}}\sum _{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_{i})^{3}={\frac {(t_{N}-t_{0})^{3}}{12}}N^{-2}}$

가 된다. 즉, ${\displaystyle N\to \infty }$일 때, 오차는 ${\displaystyle N^{-2}}$의 속도로 0으로 수렴한다.

특히, 만약 ${\displaystyle f''}$가 항상 양수일 때, 사다리꼴 공식 근사 ${\displaystyle {\tilde {F}}}$는 ${\displaystyle F}$보다 더 작으며, 반대로 ${\displaystyle f'''}$가 항상 음수일 때, 사다리꼴 공식 근사 ${\displaystyle {\tilde {F}}}$는 ${\displaystyle F}$보다 더 크다.

같이 보기

• 가우스 구적법
• 뉴턴-코츠 공식
• 롬베르크 적분
• 심프슨 공식