사드의 정리

실해석학에서 사드의 정리(Sard-定理, 영어: Sard’s theorem)는 매끄러운 함수는 거의 모든 곳에서 임계점을 갖지 않는다는 정리다.

정의

사드의 정리에 따르면, 두 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}}$ 미분 가능 다양체 ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$ 사이의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}}$ 함수 ${\displaystyle f\colon M\to N}$에 대하여, 만약

${\displaystyle r>\max\{\dim M,\dim N\}}$

이라면 ${\displaystyle f}$의 임계점(${\displaystyle \partial _{\mu }f=0}$인 점)의 집합은 르베그 측도에 대하여 영집합이다.

증명

국소좌표계를 사용하여, 편의상 ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{\dim M}}$이고 ${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{\dim N}}$으로 가정할 수 있다. 따라서, 사드의 정리는 다음 명제로부터 쉽게 증명할 수 있다.^{[1]:496–497}

1. n차원 유클리드 공간의 열린 부분집합 G에서 ${\displaystyle R^{n}}$으로 가는 n변수 함수 f = (f₁, ..., f_n)가 있다고 하자.
2. 만약, f가 미분가능한 G의 점들을 임의로 모은 집합 E에 대하여 적당한 음이 아닌 실수 상수 ${\displaystyle \mu }$에 대하여 f의 야코비안 행렬식이 ${\displaystyle |J(f)|\leq \mu }$를 만족한다면, E에서 ${\displaystyle \lambda ^{*}(f(E))\leq \mu \lambda ^{*}(E)}$ 이 성립한다.(여기서 ${\displaystyle \lambda ^{*}}$는 외측도의 기호)

이 명제에서 ${\displaystyle \mu =0}$을 취하면 사드의 정리가 되므로, 이 명제를 증명하면 곧바로 사드의 정리를 증명할 수 있다. 이 명제는 다음과 같은 단계에 의해 증명할 수 있다.^{[1]:496–498}

1. 우선 E에서 임의의 양수 k에 대하여 적당한 양수 l이 존재하여 (0, l]에 속하는 모든 수 m에 대해 부등식 ${\displaystyle \lambda ^{*}(f(B(x,m)))\leq (|J(f)|+k)\lambda (B(x,m))}$ 이 성립한다는 것을 증명한다.
2. 다음으로, E가 유계라고 가정할 수 있음을 증명한다.
3. E가 유계라 가정하면, 적당한 열린 집합 H가 존재하여 임의의 양수 k에 대해 E ⊂ H ⊂ G와 ${\displaystyle \lambda (H)<\lambda ^{*}(E)+k}$ 을 만족한다.
4. 1을 이용하면 임의의 x ∈ E에 대해 적당한 l(x) > 0이 존재하여 (0, l(x)]에 속하는 모든 m에 대해 B(x, m) ⊂ H이고, ${\displaystyle \lambda ^{*}(f(B(x,m)))\leq (\mu +k)\lambda (B(x,m))}$ 을 얻는다.
5. E에 속하는 x와 (0, l(x)/5]에 속하는 m에 대하여 B(x, m)은 E에 대한 비탈리 조건을 만족한다. 따라서, 비탈리 덮음 보조정리를 이용하면 F에 속하는 적당한 교차하지 않는 열린 공들 B₁, B₂, ...에 대하여 어떤 영집합을 제외하면 ${\displaystyle E\subset \bigcup _{a=1}^{\infty }B_{a}}$ 이 성립한다.
6. 이상으로부터 ${\displaystyle \lambda ^{*}(f(E))\leq (\mu +k)(\sum _{a=1}^{s-1}\lambda (B_{a})+\sum _{a=s}^{\infty }5^{n}\lambda (B_{a}))}$ 이 성립함을 증명한다.
7. 이상에서 분명히 ${\displaystyle \sum _{a=1}^{\infty }\lambda (B_{a})\leq \lambda (H)}$ 이므로, 6의 부등식에서 s를 무한대로 가져가는 극한을 취하면 ${\displaystyle \lambda ^{*}(f(E))\leq (\mu +k)\lambda (H)<(\mu +k)(\lambda ^{*}(E)+k)}$ 을 얻는데, k는 임의이므로 증명이 끝난다.

역사

미국의 수학자 아서 사드가 1942년에 증명하였고,^[2] 1965년에 일반화하였다.^[3][4]