사영 선형군

군론과 사영기하학에서 사영 선형군(射影線型群, 영어: projective linear group)은 어떤 사영 공간의 자기 동형군이다. 즉, 일반 선형군의, 그 군의 중심에 대한 몫군이다.

정의

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$의 사영 선형군 ${\displaystyle \operatorname {PGL} (V;K)}$은 다음과 같은 짧은 완전열에 대한 몫군이다.

${\displaystyle 1\to K^{\times }\hookrightarrow \operatorname {GL} (V;K)\twoheadrightarrow \operatorname {PGL} (V;K)\to 1}$

여기서

• ${\displaystyle K^{\times }}$는 ${\displaystyle K}$의 가역원군이다.
• ${\displaystyle K^{\times }\hookrightarrow \operatorname {GL} (V;K)}$는 가환환의 원소의 작용 ${\displaystyle a\mapsto a\operatorname {id} _{V}}$이며, 그 상은 ${\displaystyle \operatorname {GL} (V;K)}$의 군의 중심이다.

사영 특수 선형군

만약 ${\displaystyle K}$가 가환환이며 ${\displaystyle V}$가 유한 ${\displaystyle n}$차원 ${\displaystyle K}$-자유 가군일 때, 특수 선형군 ${\displaystyle \operatorname {SL} (V;K)}$를 정의할 수 있으며, 그 중심은

${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SL} (V;K))=\operatorname {Z} (\operatorname {GL} (V;K))\cap \operatorname {SL} (V;K)=\{a\in \mathbb {K} ^{\times }\colon \exists b\in K^{\times }\colon b^{n}=a\}}$

이다. 사영 특수 선형군(영어: projective special linear group)은 특수 선형군의, 그 중심에 대한 몫군이다.

${\displaystyle 1\to \operatorname {Z} (\operatorname {SL} (V;K))\to \operatorname {SL} (V;K)\twoheadrightarrow \operatorname {PSL} (V;K)\to 1}$

성질

가환환 ${\displaystyle K}$ 및 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &K^{\times }&\to &\operatorname {GL} (n;K)&\to &\operatorname {PGL} (n;K)&\to &1\\&&{\scriptstyle (-)^{n}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle (-)^{n}}&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {SZ} (n;K)&\to &\operatorname {SL} (n;K)&\to &\operatorname {PSL} (n;K)&\to &1\\\end{matrix}}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {SZ} (n;K)}$는 ${\displaystyle n}$차 거듭제곱근을 (하나 이상 갖는) ${\displaystyle K}$의 가역원들의 아벨 군이다.

만약 ${\displaystyle K}$에서 모든 ${\displaystyle n}$ 차 거듭제곱근이 존재한다면, 즉 어떤 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여

${\displaystyle (-)^{n}\colon K^{\times }\to K^{\times }}$

${\displaystyle (-)^{n}\colon \alpha \mapsto \alpha ^{n}}$

가 전사 함수라면, ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n;K)}$와 ${\displaystyle \operatorname {PSL} (n;K)}$는 서로 같다.

예

유한체

유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ 위의 사영 선형군의 크기는 다음과 같다.

${\displaystyle |\operatorname {PGL} (n;\mathbb {F} _{q})|={\frac {1}{q-1}}|\operatorname {GL} (n;\mathbb {F} _{q})|={\frac {1}{q-1}}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{n}-q^{i})}$

또한, 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3)}$

${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{3})\cong \operatorname {Alt} (4)}$

${\displaystyle \operatorname {PGL} (2;\mathbb {F} _{3})\cong \operatorname {Sym} (4)}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (-)}$은 대칭군이며, ${\displaystyle \operatorname {Alt} (-)}$는 교대군이다.

모듈러 군

 이 부분의 본문은 모듈러 군입니다.

정수 계수 2차 사영 특수 선형군 ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}$는 모듈러 군이며, 이는 모듈러 형식의 이론에 중요한 역할을 한다.

같이 보기

• 가역원

외부 링크

• “Projective general linear group” (영어). 《nLab》.
• “Projective special linear group” (영어). 《nLab》.