사유한군

수학에서 사유한군(射有限群, 영어: profinite group)은 유한군의 사영 극한으로 얻어지는 위상군이다.

정의

위상군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상군을 사유한군이라고 한다.^{[1]:5, Proposition 1.1.3}

• 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 위상군이다. 즉, 스톤 공간인 위상군이다.
• 하우스도르프 콤팩트 위상군이며, 열린 부분군들로 구성된 ${\displaystyle 1\in G}$의 국소 기저가 존재한다.
• 하우스도르프 콤팩트 위상군이며, 열린 정규 부분군들로 구성된 ${\displaystyle 1\in G}$의 국소 기저가 존재한다.
• 이산 유한군들의 사영 극한과 동형이다.

증명 (넷째 조건 ⇒ 첫째 조건):

다음 사실들로부터 따라온다.

• 하우스도르프 위상군들의 사영 극한은 직접곱의 닫힌 부분군이며, 여기에 곱위상의 부분 공간 위상을 준다.
• 콤팩트 공간의 곱공간 및 닫힌집합은 콤팩트 공간이다.
• 완전 분리 공간의 곱공간 및 부분 집합은 완전 분리 공간이다.
• 유한 이산 공간은 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간이다.

증명 (첫째 조건 ⇒ 둘째 조건):

위상군 ${\displaystyle G}$가 하우스도르프 공간이며, 콤팩트 공간이며, 완전 분리 공간이라고 하자. 임의의 열린 근방 ${\displaystyle O\ni 1}$에 대하여, ${\displaystyle H\subseteq O}$인 열린 부분군 ${\displaystyle H}$를 찾으면 충분하다. 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간의 작은 귀납적 차원은 0이므로, ${\displaystyle G}$는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 가지며, ${\displaystyle 1\in U\subseteq O}$인 열린닫힌집합 ${\displaystyle U}$가 존재한다. 이제,

${\displaystyle H=\{g\in G\colon Ug=U\}}$

라고 하자. 자명하게 ${\displaystyle H\subseteq U}$이며 ${\displaystyle H\leq G}$이므로, ${\displaystyle H}$가 열린집합임을 보이면 충분하다.

${\displaystyle H=V\cap V^{-1}}$

${\displaystyle V=\{g\in G\colon Ug\subseteq U\}}$

이므로, ${\displaystyle V}$가 열린집합임을 보이면 충분하다. ${\displaystyle V}$의 정의에 따라, 임의의 ${\displaystyle u\in U}$ 및 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle uv\in U}$이므로, ${\displaystyle U_{uv}V_{uv}\subseteq U}$인 열린 근방 ${\displaystyle U_{uv}\ni u}$ 및 ${\displaystyle V_{uv}\ni v}$가 존재한다. ${\displaystyle \{U_{uv}\colon u\in U\}}$는 ${\displaystyle U}$의 ${\displaystyle X}$에서의 열린 덮개이며, ${\displaystyle U}$는 콤팩트 공간의 닫힌집합이므로 콤팩트 공간이다. 따라서, 유한 부분 덮개 ${\displaystyle \{U_{u_{1}v},\dots ,U_{u_{n_{v}}v}\}}$가 존재한다. 그렇다면,

${\displaystyle V_{v}=V_{u_{1}v}\cap \cdots \cap V_{u_{n_{v}}v}}$

는 열린집합이며, ${\displaystyle v\in V_{v}\subseteq V}$이다. 즉, ${\displaystyle V}$는 열린집합이다.

증명 (둘째 조건 ⇒ 셋째 조건):

임의의 열린 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$에 대하여,

${\displaystyle G=\bigsqcup _{gH\in G/H}gH}$

이며, ${\displaystyle G}$가 콤팩트 위상군이므로, ${\displaystyle H}$의 지표는 유한하다. ${\displaystyle H}$의 켤레 부분군들의 수는 ${\displaystyle H}$의 정규화 부분군의 지표 ${\displaystyle |G:\operatorname {N} _{G}(H)|}$이므로, 역시 유한하다. 이제,

${\displaystyle N=\bigcap _{g\in G}gHg^{-1}}$

라고 하자. ${\displaystyle N}$은 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이며, ${\displaystyle N\subseteq H}$이다. 또한, 유한한 수의 열린집합의 교집합이므로, 열린집합이다.

증명 (셋째 조건 ⇒ 넷째 조건):

${\displaystyle {\mathcal {N}}}$이 ${\displaystyle G}$의 열린 정규 부분군들의 집합이라고 하자. 가정에 따라, ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$은 1의 국소 기저이다. 임의의 ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$에 대하여, 몫군 ${\displaystyle G/N}$은 몫위상을 주었을 때 위상군을 이룬다. ${\displaystyle G/N}$은 콤팩트 공간의 연속적 상이므로 콤팩트 공간이며, ${\displaystyle N\in G/N}$의 원상 ${\displaystyle N\subseteq G}$가 열린집합이므로 이산 공간이다. 특히, ${\displaystyle G/N}$은 유한군이다. 또한, ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$은 (포함 관계에 대하여) 하향 원순서 집합을 이루므로, 표준적인 전사 연속 군 준동형

${\displaystyle \phi _{NN'}\colon G/N'\to G/N\qquad (N'\subseteq N)}$

들을 사용하여 사영 극한

${\displaystyle \varprojlim _{N\in {\mathcal {N}}}G/N}$

을 정의할 수 있다.

이제, 표준적인 전사 연속 군 준동형

${\displaystyle \phi _{N}\colon G\to G/N}$

을 생각하자. 사영 극한의 보편 성질에 따라, 연속 군 준동형

${\displaystyle \phi \colon G\to \varprojlim _{N\in {\mathcal {N}}}G/N}$

${\displaystyle \pi _{N}\circ \phi =\phi _{N}\qquad \forall N\in {\mathcal {N}}}$

이 존재한다. ${\displaystyle \phi }$가 위상군의 동형임을 보이면 충분하다. 그런데 ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle \varprojlim _{N\in {\mathcal {N}}}G/N}$ 모두 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, ${\displaystyle \phi }$가 전단사 함수임을 보이면 충분하다.

• ${\displaystyle \phi }$는 단사 함수
  • ${\displaystyle \ker \phi =\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}}N}$이다. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$이 1의 국소 기저이며, ${\displaystyle G}$가 하우스도르프 공간이므로, ${\displaystyle \ker \phi =\{1\}}$이다.
• ${\displaystyle \phi }$는 전사 함수
  • 임의의 ${\displaystyle x=(x_{N})_{N\in {\mathcal {N}}}\in \varprojlim _{N\in {\mathcal {N}}}G/N}$에 대하여, ${\displaystyle \phi ^{-1}(x)=\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}}\phi _{N}^{-1}(x_{N})}$이다. 모든 ${\displaystyle \phi _{N}^{-1}(x_{N})}$은 콤팩트 공간 ${\displaystyle G}$의 닫힌집합이다. 임의의 유한 집합 ${\displaystyle \{N_{1},\dots ,N_{n}\}\subseteq {\mathcal {N}}}$에 대하여, ${\displaystyle N=N_{1}\cap \cdots \cap N_{n}}$이며 ${\displaystyle x_{N}=\phi _{N}(g)}$이라고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$에 대하여, ${\displaystyle \phi _{N_{i}}(g)=\phi _{N_{i}N}(\phi _{N}(g))=\phi _{N_{i}N}(x_{N})=x_{N_{i}}}$이다. 즉, ${\displaystyle \phi _{N_{1}}^{-1}(x_{N_{1}})\cap \cdots \cap \phi _{N_{n}}^{-1}(x_{N_{n}})\neq \varnothing }$이며, ${\displaystyle \phi _{N}^{-1}(x_{N})}$들은 유한 교집합 성질을 만족시킨다. 따라서, ${\displaystyle \phi ^{-1}(x)\neq \varnothing }$이다.

성질

다음 성질들이 성립한다.

• (무한할 수도 있는 개수의) 사유한군들의 (곱위상이 주어진) 직접곱은 사유한군이다. 사유한군의 닫힌 부분군은 사유한군이다.
• 사유한군의 부분군이 열린집합일 필요충분조건은 이 부분군이 유한 지표의 닫힌집합이라는 것이다.

증명:

콤팩트 공간의 곱공간 및 닫힌집합은 콤팩트 공간이다. 하우스도르프 공간이나 완전 분리 공간의 곱공간 및 임의의 부분 집합은 하우스도르프 공간이나 완전 분리 공간이다. 따라서, 사유한군들의 직접곱 및 닫힌 부분군은 사유한군이다.

콤팩트 위상군에서, 열린 부분군은 유한 지표 닫힌 부분군과 동치이다. 특히, 이는 사유한군에서도 성립한다.

사유한 완비화

임의의 군 ${\displaystyle G}$의 사유한 완비화(射有限完備化, 영어: profinite completion) ${\displaystyle {\widehat {G}}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle {\widehat {G}}=\varprojlim _{\scriptstyle N\vartriangleleft G \atop \scriptstyle [G:N]<\aleph _{0}}G/N}$

즉, ${\displaystyle G}$의 모든 유한 지표 정규 부분군 ${\displaystyle N}$에 대한 몫군들의 사영 극한이다. ${\displaystyle {\widehat {G}}}$는 자연스럽게 사유한군을 이룬다. 또한, 자연스러운 군 준동형 ${\displaystyle G\to {\widehat {G}}}$가 존재하며, 이 준동형의 상은 ${\displaystyle {\widehat {G}}}$의 조밀 집합이다. 일반적으로 이는 단사 함수가 아니다.

또한, 일반적으로 사유한 완비화 연산은 멱등이 아니다. 즉, ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}\not \cong {\widehat {G}}}$일 수 있다.

사유한 완비화는 사유한군의 범주 ${\displaystyle {\widehat {\operatorname {Grp} }}}$와 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$ 사이의 망각 함자

${\displaystyle F\colon {\widehat {\operatorname {Grp} }}\to \operatorname {Grp} }$

의 왼쪽 수반 함자

${\displaystyle {\widehat {\phantom {G}}}\colon \operatorname {Grp} \to {\widehat {\operatorname {Grp} }}}$

${\displaystyle {\widehat {\phantom {G}}}\vdash F}$

를 이룬다.^[2]:345

함자의 구성:

사유한 완비화 ${\displaystyle {\widehat {G}}}$는 다음 조건을 만족시키는 원소

${\displaystyle (g_{N}N)_{N}\in \prod _{\scriptstyle N\vartriangleleft G \atop \scriptstyle [G:N]<\aleph _{0}}G/N}$

들로 구성된 (이산 위상의 곱위상의 부분공간 위상을 부여한) 위상군으로 여길 수 있다.

• 임의의 유한 지표 정규 부분군 ${\displaystyle N\subset N'\subset G}$에 대하여, ${\displaystyle g_{N}N'=g_{N'}N'}$

그렇다면, 사유한 완비화 함자에서, 군 준동형

${\displaystyle \phi \colon G\to H}$

의 상은 다음과 같은 위상군의 사상이다.

${\displaystyle {\widehat {\phi }}\colon {\widehat {G}}\to {\widehat {H}}}$

${\displaystyle {\widehat {\phi }}\colon (g_{N}N)_{N}\mapsto (\phi (g_{\phi ^{-1}(N')})N')_{N'}}$

예

모든 이산 유한군은 사유한군이다.

p진 정수 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$는 사유한군을 이룬다. 이는 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}}$들의 사영 극한으로 정의된다. 정수군 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$의 사유한 완비화는 모든 p진 정수군의 직접곱과 동형이다.

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$

사유한군은 갈루아 이론에서 등장한다. 구체적으로, 갈루아 확대 ${\displaystyle L/K}$가 주어지면 ${\displaystyle K}$를 고정시키는 체 자기 동형 사상들의 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대 ${\displaystyle F/K}$들의 사영 극한이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다.^[3]

대수기하학의 에탈 기본군은 사유한군이다. (그러나 대수적 위상수학의 기본군들은 일반적으로 사유한군이 아니다.)