조밀 집합

일반위상수학에서 조밀 집합(稠密集合, 영어: dense set)은 어떤 공간을 ‘조밀하게’ 채우는 부분 집합이다. 즉, 공간 속의 임의의 점을, 조밀 집합에 속하는 점들의 그물의 극한으로 나타낼 수 있다. 예를 들면 유리수의 집합은 실수선의 조밀 집합이다. 왜냐하면, 어떤 실수를 골라도 이에 수렴하는 유리수의 수열을 언제나 생각할 수 있기 때문이다. (그물을 점렬로 대체한 조건은 보다 강한 조건이지만, 제1 가산 공간에서 두 조건은 서로 동치이다.)

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle D\subseteq X}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 조밀 집합이라고 한다.

• 임의의 열린집합 ${\displaystyle U}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle U\subseteq X\setminus D}$라면 ${\displaystyle U=\varnothing }$이다.
• 임의의 닫힌집합 ${\displaystyle C}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle D\subseteq C\subseteq X}$라면 ${\displaystyle C=X}$이다.
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (D)=X}$.^{[1]:191, §30[2]:7, §1} 여기서 ${\displaystyle \operatorname {cl} }$은 폐포이다.
• ${\displaystyle \operatorname {int} (X\setminus D)=\varnothing }$. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {int} }$는 내부이다.
• 모든 ${\displaystyle x\in X}$ 및 ${\displaystyle x}$의 모든 근방 ${\displaystyle U\ni x}$에 대하여, ${\displaystyle D\cap U\neq \varnothing }$.
• ${\displaystyle X}$의 모든 점들은 ${\displaystyle D}$의 원소이거나 ${\displaystyle D}$의 극한점이다.^{[2]:7, §1}

성질

연산에 대한 닫힘

임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 속의 조밀 집합 ${\displaystyle D\subseteq X}$ 및 ${\displaystyle D\subseteq E\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle E}$ 역시 ${\displaystyle D}$의 조밀 집합이다. 다시 말해, 조밀 집합들의 집합족 ${\displaystyle \operatorname {Dense} (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)}$은 ${\displaystyle X}$의 멱집합 ${\displaystyle \operatorname {Pow} (X)}$ 속의 상집합이다.

특히, 조밀 집합들의 합집합은 조밀 집합이다. 그러나 조밀 집합들의 교집합이 조밀 집합일 필요는 없다. 다만, 임의의 조밀 집합 ${\displaystyle D}$와 조밀 열린집합 ${\displaystyle U}$가 주어졌을 때, 그 교집합 ${\displaystyle D\cap U}$는 조밀 집합이다.

증명:

임의의 열린집합 ${\displaystyle V\subseteq X}$가 주어졌으며, ${\displaystyle V\neq \varnothing }$이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle U}$가 조밀 열린집합이므로 ${\displaystyle U\cap V\neq \varnothing }$이며, 따라서 ${\displaystyle D\cap (U\cap V)\neq \varnothing }$이다.

특히, 조밀 열린집합들의 족 ${\displaystyle \operatorname {Dense} (X)\cap \operatorname {Open} (X)}$은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있어, 멱집합 ${\displaystyle \operatorname {Pow} (X)}$ 속의 필터를 이룬다.

임의의 두 위상 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 전사 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 주어졌을 때, 조밀 집합 ${\displaystyle D\subseteq X}$의 상 ${\displaystyle f[D]\subseteq Y}$ 역시 조밀 집합이다.

증명:

임의의 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle f}$가 전사 함수이므로 ${\displaystyle f(x)=y}$인 ${\displaystyle x\in X}$가 존재하며, ${\displaystyle D}$가 조밀 집합이므로 ${\displaystyle x}$로 수렴하는 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\subseteq D}$가 존재하며, ${\displaystyle f}$가 연속 함수이므로 ${\displaystyle f(x_{i})\to f(x)=y}$이다. 따라서 ${\displaystyle f[D]}$는 ${\displaystyle Y}$의 조밀 집합이다.

조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 ${\displaystyle X\subseteq Y\subseteq Z}$이며, ${\displaystyle X}$가 ${\displaystyle Y}$의 조밀 집합이고 ${\displaystyle Y}$가 ${\displaystyle Z}$의 조밀 집합이라면 ${\displaystyle X}$는 ${\displaystyle Z}$의 조밀 집합이다.

증명:

${\displaystyle U\subseteq Z}$가 ${\displaystyle Z}$의 열린집합이며 ${\displaystyle U\subseteq Z\setminus X}$라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle U\cap Y}$는 ${\displaystyle Y}$의 열린집합이며, ${\displaystyle U\cap Y\subseteq Y\setminus X}$이다. ${\displaystyle X}$가 ${\displaystyle Y}$의 조밀 집합이므로 ${\displaystyle U\cap Y=\varnothing }$이다. 즉, ${\displaystyle U\subseteq Z\setminus Y}$이다. ${\displaystyle Y}$가 ${\displaystyle Z}$의 조밀집합이므로 ${\displaystyle U=\varnothing }$이다.

함의 관계

모든 조밀 열린집합은 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.) 즉, 다음 함의 관계가 성립한다.

조밀 열린집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 제1 범주 집합의 여집합 ⇒ 준열린집합

조밀 집합은 연속 함수를 결정한다

임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$와 하우스도르프 공간 ${\displaystyle Y}$ 및 조밀 집합 ${\displaystyle D\subseteq X}$와 두 연속 함수 ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle f\upharpoonright D=g\upharpoonright D}$라면, ${\displaystyle f=g}$이다. (여기서 ${\displaystyle \upharpoonright }$은 함수의 제한을 뜻한다.)

증명:

임의의 ${\displaystyle x\not \in D}$에 대하여, ${\displaystyle f=g}$임을 보이면 족하다. ${\displaystyle D}$가 조밀 집합이므로, ${\displaystyle x}$로 수렴하는, ${\displaystyle D}$ 속의 점들로 구성된 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$가 존재한다. ${\displaystyle f}$가 연속 함수이므로

${\displaystyle g(x_{i})=f(x_{i})\to f(x)}$

${\displaystyle f(x_{i})=g(x_{i})\to g(x)}$

이며, ${\displaystyle Y}$가 하우스도르프 공간이므로 그물의 극한은 유일하다. 따라서 ${\displaystyle f(x)=g(x)}$이다.

예

위상 공간 ${\displaystyle X}$는 스스로의 조밀 집합이다. 반면, ${\displaystyle X}$ 전체가 아닌 ${\displaystyle X}$의 모든 닫힌집합은 ${\displaystyle X}$의 조밀 집합이 아니다.

유한 부분 집합의 여집합

자기 조밀 T₁ 공간 속에서, 임의의 유한 부분 집합의 여집합은 조밀 열린집합이다.

증명:

조밀 열린집합들은 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 ${\displaystyle X\setminus \{x\}}$가 조밀 열린집합임을 보이면 족하다.

• ${\displaystyle X\setminus \{x\}}$는 T₁ 조건에 의하여 열린집합이다.
• ${\displaystyle X\setminus \{x\}}$는 자기 조밀 공간 조건에 의하여 닫힌집합이 아니다. 따라서 ${\displaystyle \operatorname {cl} (X\setminus \{x\})=X}$이며, ${\displaystyle X\setminus \{x\}}$는 조밀 집합이다.

이산 공간

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 이산 공간이다.
• 정확히 1개의 조밀 집합을 갖는다. (이는 물론 ${\displaystyle X}$ 전체이다.)

증명:

이산 공간 ${\displaystyle X}$에서 조밀 집합이 ${\displaystyle X}$ 전체 밖에 없다는 것은 자명하다. 반대로, 위상 공간 ${\displaystyle X}$가 이산 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, 열린집합이 아닌 한원소 집합 ${\displaystyle \{x\}\subseteq X}$가 존재한다. 그렇다면, ${\displaystyle X\setminus \{x\}}$는 ${\displaystyle X}$의 조밀 집합이다.

비이산 공간

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 비이산 공간이다.
• ${\displaystyle X}$의 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다.

증명:

비이산 공간 ${\displaystyle X}$에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 조밀 집합이라는 것은 자명하다. 반대로, ${\displaystyle X}$가 비이산 공간이 아니라고 하자. 즉, 닫힌집합 ${\displaystyle \varnothing \neq F\subsetneq X}$가 존재한다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle F}$는 조밀 집합이 아니다.

실수선의 조밀 집합

실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 부분 집합들을 생각하자.

• 유리수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$는 실수선의 조밀 집합이다.
• 무리수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ 역시 실수선의 조밀 집합이다.
• 반면, 자연수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {N} }$, 정수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 조밀 집합이 아니다.

임의의 세 실수 ${\displaystyle a<b<c}$에 대하여, ${\displaystyle [a,b)\cup (b,c]=[a,c]\setminus \{b\}}$는 ${\displaystyle [a,c]}$ 안의 조밀 집합이다.