상관 함수 (통계역학)

상관함수(correlation function)는 확률 변수 간의 공간적 또는 시간적 거리에 따라 이들 변수 간의 통계적 상관 관계를 제공하는 함수이다.^[1] 두 개의 다른 지점에서 측정된 동일한 양을 나타내는 확률 변수 간의 상관함수를 고려할 때, 이는 종종 자기상관함수라고 불리며, 자기상관으로 구성된다. 서로 다른 확률 변수의 상관함수는 때때로 서로 다른 변수가 고려되고 상호상관으로 구성되어 있음을 강조하기 위해 교차 상관함수라고 불린다.

합성곱, 상호상관, 자기상관의 시각적 비교.

상관함수는 시간 또는 공간에서 거리의 함수로서 의존성을 나타내는 유용한 지표이며, 값들이 효과적으로 비상관적이기 위해 샘플 점들 사이에 필요한 거리를 평가하는 데 사용될 수 있다. 또한, 관측치가 없는 지점의 값을 보간하는 규칙의 기초를 형성할 수 있다.

천문학, 재무 분석, 계량경제학, 통계역학에서 사용되는 상관함수는 적용되는 특정 확률 과정에서만 다르다. 양자장론에서는 양자 분포에 대한 상관함수가 존재한다.

정의

어떤 공간의 서로 다른 점 s와 t에서 서로 다를 수 있는 확률 변수 X(s)와 Y(t)에 대해, 상관함수는 다음과 같다.

${\displaystyle C(s,t)=\operatorname {corr} (X(s),Y(t)),}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {corr} }$는 상관 분석 문서에 설명되어 있다. 이 정의에서는 확률 변수가 스칼라 값을 가진다고 가정했다. 그렇지 않은 경우, 더 복잡한 상관함수를 정의할 수 있다. 예를 들어, X(s)가 n개의 요소를 가진 확률 벡터이고 Y(t)가 q개의 요소를 가진 벡터인 경우, ${\displaystyle i,j}$ 요소를 가진 n×q 행렬의 상관함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle C_{ij}(s,t)=\operatorname {corr} (X_{i}(s),Y_{j}(t)).}$

n=q일 때, 때때로 이 행렬의 트레이스에 초점을 맞춘다. 확률 분포가 어떤 표적 공간 대칭, 즉 확률 변수의 값 공간에 대칭성(또한 내부 대칭이라고도 함)을 가지면, 상관 행렬은 유도된 대칭성을 가질 것이다. 유사하게, 확률 변수가 존재하는 공간(또는 시간) 영역에 대칭성이 존재하면(또한 시공간 대칭이라고도 함), 상관함수는 해당 공간 또는 시간 대칭성을 가질 것이다. 중요한 시공간 대칭의 예는 다음과 같다.

• 병진 대칭은 C(s,s') = C(s − s')를 산출하며, 여기서 s와 s'는 점의 좌표를 나타내는 벡터로 해석된다.
• 위의 내용에 더해 회전 대칭은 C(s, s') = C(|s − s'|)를 제공하며, 여기서 |x|는 벡터 x의 노름을 나타낸다(실제 회전의 경우 이는 유클리드 또는 2-노름이다).

고차 상관함수는 종종 정의된다. n차의 전형적인 상관함수는 (각괄호는 기댓값을 나타낸다)

${\displaystyle C_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}(s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})=\langle X_{i_{1}}(s_{1})X_{i_{2}}(s_{2})\cdots X_{i_{n}}(s_{n})\rangle .}$

확률 벡터가 하나의 구성 요소 변수만 가지고 있다면, 지수 ${\displaystyle i,j}$는 중복된다. 대칭성이 있다면, 상관함수는 내부 및 시공간 대칭의 기약표현으로 분해될 수 있다.

확률 분포의 속성

이러한 정의와 함께, 상관함수 연구는 확률 분포 연구와 유사하다. 많은 확률 과정은 그 상관함수에 의해 완전히 특징지어질 수 있다. 가장 주목할 만한 예는 가우스 과정 계열이다.

유한한 수의 점에 정의된 확률 분포는 항상 정규화될 수 있지만, 연속적인 공간에 정의될 때는 추가적인 주의가 필요하다. 이러한 분포 연구는 무작위 행보 연구에서 시작되었고 이토 미적분의 개념으로 이어졌다.

유클리드 공간의 파인만 경로 적분은 이를 통계역학에 관심 있는 다른 문제로 일반화한다. 반사 양성성이라는 상관함수에 대한 조건을 따르는 모든 확률 분포는 민코프스키 시공간으로의 윅 회전 후에 국소 양자장론으로 이어진다 (오스터발더-슈레이더 공리 참조). 재규격화 연산은 확률 분포 공간에서 자기 자신으로의 특정 매핑 집합이다. 양자장론은 이 매핑이 양자장론을 제공하는 고정점을 가질 때 재규격화 가능하다고 불린다.

같이 보기

• 자기상관
• 상관관계와 인과관계
• 코렐로그램
• 공분산 함수
• 피어슨 상관 계수
• 상관함수 (천문학)
• 상관함수 (통계역학)
• 상관함수 (양자장론)
• 상호정보
• 율-왜곡 함수
• 방사형 분포 함수