기약표현

수학에서, 특히 군 및 대수의 표현론에서 기약 표현(旣約表現, 영어: Irreducible representation) ${\displaystyle (\rho ,V)}$ 또는 irrep는 부분 표현을 가지지 않는 0이 아닌 표현이다. 즉, ${\displaystyle (\rho |_{W},W)}$에서 ${\displaystyle W\subset V}$는 ${\displaystyle \{\rho (a):a\in A\}}$의 작용에 대해 닫혀 있는 자명하지 않은 부분 공간이 없다.

힐베르트 공간 ${\displaystyle V}$ 상의 모든 유한 차원 유니터리 표현은 기약 표현의 직합이다. 기약 표현은 항상 분해 불가능이지만 (즉, 표현의 직합으로 더 이상 분해될 수 없다), 그 역은 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 상삼각 행렬에 의해 작용하는 실수에 대한 2차원 표현은 분해 불가능이지만 가약이다.

역사

군 표현론은 1940년대부터 리하르트 브라우어에 의해 일반화되어, 실수나 복소수 위의 벡터 공간이 아닌 임의의 표수 ${\displaystyle K}$를 가진 체 위의 벡터 공간에 행렬 연산자가 작용하는 모듈러 표현론을 제공했다. 결과 이론에서 기약 표현에 해당하는 구조는 단순 가군이다.

개요

 군의 표현 문서에 이 부분의 추가 정보가 있습니다.

${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$를 군 ${\displaystyle G}$의 준동형으로 표현이라 하자. 여기서 ${\displaystyle V}$는 체 ${\displaystyle F}$ 위의 벡터 공간이다. ${\displaystyle V}$의 기저 ${\displaystyle B}$를 선택하면, ${\displaystyle \rho }$는 군에서 가역 행렬 집합으로 가는 함수(준동형)로 생각할 수 있으며 이 맥락에서 행렬 표현이라고 불린다. 그러나 기저 없이 공간 ${\displaystyle V}$를 생각하면 훨씬 간단해진다. ${\displaystyle \rho }$는 그것이 작용하는 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 차원이 ${\displaystyle d}$이면 d차원이다.

선형 부분 공간 ${\displaystyle W\subset V}$는 모든 ${\displaystyle g\in G}$ 및 모든 ${\displaystyle w\in W}$에 대해 ${\displaystyle \rho (g)w\in W}$이면 ${\displaystyle G}$-불변이라고 한다. ${\displaystyle G}$-불변 부분 공간 ${\displaystyle W\subset V}$의 일반 선형 군에 대한 ${\displaystyle \rho }$의 공역 제한을 부분 표현이라고 한다. 표현 ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$는 자명한 부분 표현만 가지면 기약이라고 한다 (모든 표현은 자명한 ${\displaystyle G}$-불변 부분 공간, 예를 들어 전체 벡터 공간 ${\displaystyle V}$, 및 {0}{로부터 부분 표현을 형성할 수 있다). 적절한 자명하지 않은 불변 부분 공간이 있으면 ${\displaystyle \rho }$는 가약이라고 한다.

군 표현의 표기법 및 용어

군 요소는 행렬로 표현될 수 있지만, "표현"이라는 용어는 이 맥락에서 특정하고 정확한 의미를 갖는다. 군의 표현은 군 요소에서 행렬의 일반선형군으로의 사상이다. 표기법으로, a, b, c, ...는 군 곱을 기호 없이 나타내는 군 G의 요소를 나타낸다. 따라서 ab는 a와 b의 군 곱이며 G의 요소이기도 하다. 그리고 표현은 D로 나타낸다. a의 표현은 다음과 같이 쓰여진다.

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

군 표현의 정의에 따라, 군 곱의 표현은 표현의 행렬 곱셈으로 변환된다.

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

e가 군의 항등원이면 (따라서 1=ae = ea = a, 등), D(e)는 단위 행렬이거나 동일하게 단위 행렬의 블록 행렬이어야 한다. 왜냐하면 다음과 같아야 하기 때문이다.

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

그리고 다른 모든 군 요소에 대해서도 마찬가지이다. 마지막 두 진술은 D가 군 준동형사상이라는 요구 사항에 해당한다.

가약 표현과 기약 표현

표현이 자명하지 않은 G-불변 부분 공간을 포함하면 가약이다. 즉, 모든 행렬 ${\displaystyle D(a)}$는 동일한 가역 행렬 ${\displaystyle P}$에 의해 상삼각 블록 형태로 놓일 수 있다. 다시 말해, 닮음 변환이 존재한다.

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

이는 표현의 모든 행렬을 동일한 패턴의 상삼각 블록으로 매핑한다. 모든 순서가 지정된 부블록은 군 부분 표현이다. 즉, 예를 들어 표현이 2차원이면 다음과 같다. $${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D^{(22)}(a)\end{pmatrix}},}$$

여기서 ${\displaystyle D^{(11)}(a)}$는 자명하지 않은 부분 표현이다. 만약 ${\displaystyle D^{(12)}(a)=0}$도 만족시키는 행렬 ${\displaystyle P}$를 찾을 수 있다면, ${\displaystyle D(a)}$는 가약일 뿐만 아니라 분해 가능하기도 하다.

'주의:' 표현이 가약이더라도 행렬 표현은 여전히 상삼각 블록 형태가 아닐 수 있다. 위에서 언급한 행렬 ${\displaystyle P^{-1}}$을 표준 기저에 적용하여 얻을 수 있는 적절한 기저를 선택해야만 이 형태를 갖게 된다.

분해 가능 표현과 분해 불가능 표현

모든 행렬 ${\displaystyle D(a)}$가 동일한 가역 행렬 ${\displaystyle P}$에 의해 블록 대각 형태로 놓일 수 있으면 표현은 분해 가능하다. 다시 말해, 닮음 변환이 존재한다.^[1]

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

이는 표현의 모든 행렬을 동일한 패턴의 대각 블록으로 대각화한다. 각 블록은 다른 블록과 독립적인 군 부분 표현이다. 표현 D(a)와 D′(a)는 동치 표현이라고 한다.^[2] ('k'차원 표현이라고 하자) 표현은 [[행렬의 직합|k > 1개 행렬의 직합]]으로 분해될 수 있다.

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),}$

따라서 D(a)는 분해 가능하며, 분해된 행렬은 괄호 안에 위첨자를 사용하여 1=n = 1, 2, ..., k에 대해 D⁽ⁿ⁾(a)와 같이 표기하는 것이 일반적이지만, 일부 저자는 괄호 없이 숫자 레이블만 쓰기도 한다.

D(a)의 차원은 블록 차원의 합이다.

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)].}$

이것이 불가능하다면, 즉 1=k = 1이면 표현은 분해 불가능하다.^[1][3]

주의: 표현이 분해 가능하더라도 행렬 표현은 대각 블록 형태가 아닐 수 있다. 위에서 언급한 행렬 ${\displaystyle P^{-1}}$을 표준 기저에 적용하여 얻을 수 있는 적절한 기저를 선택해야만 이 형태를 갖게 된다.

기약 표현과 분해 불가능 표현의 관계

기약 표현은 본질적으로 분해 불가능한 표현이다. 그러나 역은 성립하지 않을 수 있다.

하지만 일부 조건 하에서는 분해 불가능한 표현이 기약 표현이 된다.

• 군 ${\displaystyle G}$가 유한하고, C 위에서 표현을 가질 때, 분해 불가능한 표현은 기약 표현이다.^[4]
• 군 ${\displaystyle G}$가 유한하고, 체 ${\displaystyle K}$ 위에서 표현을 가질 때, 만약 ${\displaystyle char(K)\nmid |G|}$이면, 분해 불가능한 표현은 기약 표현이다.

기약 표현의 예시

자명한 표현

모든 군 ${\displaystyle G}$는 모든 군 요소를 항등 변환에 매핑하여 0차원의 기약 자명한 표현을 갖는다.

1차원 표현

모든 1차원 표현은 적절한 비자명 불변 부분 공간을 가지지 않기 때문에 기약이다.

기약 복소 표현

유한군 G의 기약 복소 표현은 지표 이론의 결과를 사용하여 특징화할 수 있다. 특히, 모든 복소 표현은 irreps의 직접 합으로 분해되며, ${\displaystyle G}$의 irreps 수는 ${\displaystyle G}$의 켤레류 수와 같다.^[5]

• ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$의 기약 복소 표현은 정확히 ${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$ 맵으로 주어진다. 여기서 ${\displaystyle \gamma }$는 ${\displaystyle n}$번째 1의 거듭제곱근이다.
• ${\displaystyle V}$를 기저 ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$를 갖는 ${\displaystyle S_{n}}$의 ${\displaystyle n}$차원 복소 표현이라 하자. 그러면 ${\displaystyle V}$는 다음과 같이 irreps의 직접 합으로 분해된다. $${\displaystyle V_{\text{triv}}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$$ 그리고 다음으로 주어지는 직교 부분 공간 $${\displaystyle V_{\text{std}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.}$$ 전자의 irrep는 1차원이며 ${\displaystyle S_{n}}$의 자명한 표현과 동형이다. 후자는 ${\displaystyle n-1}$차원이며 ${\displaystyle S_{n}}$의 표준 표현으로 알려져 있다.^[5]
• ${\displaystyle G}$를 군이라 하자. ${\displaystyle G}$의 정규 표현은 군 작용 ${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$이 있는 기저 ${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$에 대한 자유 복소수 벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {C} G}$이다. ${\displaystyle G}$의 모든 기약 표현은 ${\displaystyle \mathbb {C} G}$를 irreps의 직접 합으로 분해하는 데 나타난다.

F_p 상의 기약 표현의 예시

• ${\displaystyle G}$를 ${\displaystyle p}$ 군으로 하고 ${\displaystyle V=\mathbb {F} _{p}^{n}}$을 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 위의 G의 유한 차원 기약 표현으로 하자. 궤도-안정자 정리(Orbit-stabilizer theorem)에 의해, ${\displaystyle p}$ 군 ${\displaystyle G}$에 의해 작용된 모든 ${\displaystyle V}$ 요소의 궤도 크기는 ${\displaystyle p}$의 거듭제곱이다. 이 모든 궤도의 크기가 ${\displaystyle G}$의 크기와 합산되고, ${\displaystyle 0\in V}$는 자신만을 포함하는 크기 1 궤도에 있기 때문에, 합이 일치하기 위해서는 크기 1인 다른 궤도가 있어야 한다. 즉, 모든 ${\displaystyle g\in G}$에 대해 ${\displaystyle gv=v}$인 일부 ${\displaystyle v\in V}$가 존재한다. 이것은 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 위의 ${\displaystyle p}$ 군의 모든 기약 표현이 1차원이어야 함을 강제한다.

이론 물리학 및 화학에서의 응용

 양자 역학의 대칭성, 분자 대칭 및 얀-텔러 효과 문서를 참고하십시오.

양자 물리학 및 양자화학에서, 축퇴된 에너지 준위의 각 집합은 해밀턴 연산자의 대칭 군 표현을 위한 벡터 공간 V을 구성하며, "다중항"은 기약 부분으로의 환원을 통해 가장 잘 연구된다. 따라서 기약 표현을 식별함으로써 상태를 라벨링하고 섭동 하에서 어떻게 분할될 것인지 예측할 수 있다. 또는 V의 다른 상태로 전이할 수 있다. 따라서 양자 역학에서 시스템의 대칭 군의 기약 표현은 시스템의 에너지 준위를 부분적으로 또는 완전히 라벨링하여 선택규칙을 결정할 수 있도록 한다.^[6]

리 군

 이 부분의 본문은 리 군의 표현론입니다.

로런츠 군

 이 부분의 본문은 로런츠 군의 표현론입니다.

회전 생성자 J와 부스트 생성자 K의 기약 표현 D(K) 및 D(J)는 로런츠 군의 스핀 표현을 구성하는 데 사용될 수 있다. 이는 양자 역학의 스핀 행렬과 관련이 있기 때문이다. 이를 통해 상대론적 파동 방정식을 유도할 수 있다.^[7]

같이 보기

결합 대수

• 단순 가군
• 분해 불가능 대상
• 결합 대수의 표현

리 군

• 리 대수의 표현론
• SU(2)의 표현론
• SL2(R)의 표현론
• 갈릴레이 군의 표현론
• 미분동형사상 군의 표현론
• 푸앵카레 군의 표현론
• 최고 가중치 정리