샤우데르 기저

함수해석학에서 샤우데르 기저(Schauder基底, 영어: Schauder basis)는 위상 벡터 공간에 대하여 정의되는, 벡터 공간의 기저와 유사한 개념이다.^{[1]:§10, 89–102} 그러나 벡터 공간의 기저에서는 모든 원소가 유한 개의 기저 벡터의 합으로 나타내어지는 반면, 샤우데르 기저의 경우 모든 원소는 샤우데르 기저 벡터들의 무한 급수로 나타내어진다.

정의

${\displaystyle N\in \{0,1,2,\dots ,\infty \}}$라고 하자. 위상체 ${\displaystyle K}$ 위의 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 샤우데르 기저 ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1}^{N}\subset V}$는 다음 조건을 만족시키는 원소들의 열이다.

• 임의의 원소 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle v=\sum _{i=1}^{N}a_{i}e_{i}}$가 되는 수열 ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i=1}^{N}\subset K}$이 유일하게 존재한다.

여기서 ${\displaystyle N=\infty }$일 경우 급수의 수렴은 ${\displaystyle V}$의 위상으로 정의된다.

${\displaystyle N=\infty }$일 경우, 샤우데르 기저의 순서가 중요한데, 이는 위 급수의 수렴이 절대 수렴이 아닐 수 있기 때문이다. 반면, ${\displaystyle N<\infty }$일 경우 샤우데르 기저의 순서는 중요하지 않으며, 이 경우 벡터 공간의 일반적 기저의 개념와 일치한다.

바나흐 공간 ${\displaystyle (V,\|{-}\|)}$ 위의 샤우데르 기저 ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1}^{N}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 정규 샤우데르 기저(正規Schauder基底, 영어: normalized Schauder basis)라고 한다.

• 모든 ${\displaystyle i=1,\dots ,N}$에 대하여, ${\displaystyle \|e_{i}\|=1}$

무조건 샤우데르 기저

${\displaystyle N\in \{0,1,2,\dots ,\infty \}}$라고 하자. 위상체 ${\displaystyle K}$ 위의 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 샤우데르 기저 ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1}^{N}\subset V}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 무조건 샤우데르 기저(無條件Schauder基底, 영어: unconditional Schauder basis)라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle v\in V}$ 및 ${\displaystyle \{1,2,\dots ,N\}}$의 임의의 순열 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\{1,2,\dots ,N\})}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle v=\sum _{i=1}^{N}a_{i}e_{i}}$라고 하면, ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}e_{\sigma (i)}}$ 역시 수렴한다.

무조건 샤우데르 기저는 전순서를 무시할 수 있다. ${\displaystyle N<\infty }$인 샤우데르 기저는 무조건 샤우데르 기저이다.

성질

균등 유계성

${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ 위의 바나흐 공간 ${\displaystyle V}$의 샤우데르 기저 ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1}^{N}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면

${\displaystyle T_{i}\colon \sum _{i=1}^{N}a_{i}e_{i}\mapsto a_{i}}$

는 모두 유계 작용소이다. 사실, 만약 ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1}^{N}}$가 정규 샤우데르 기저라면, 균등 유계성 원리에 따라

${\displaystyle \sup\{\|T_{i}\|\}_{i=1}^{N}<\infty }$

이다. (여기서 ${\displaystyle \|{-}\|}$는 작용소 노름)

존재

샤우데르 기저를 가지는 바나흐 공간은 항상 분해 가능 공간이다.

증명:

${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$이며, ${\displaystyle K}$-바나흐 공간 ${\displaystyle V}$의 샤우데르 기저 ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1}^{N}}$이 주어졌다고 하자 (${\displaystyle N\in \{0,1,\dots ,\infty \}}$). 그렇다면,

${\displaystyle {\tilde {K}}={\begin{cases}\mathbb {Q} &K=\mathbb {R} \\\mathbb {Q} +\mathrm {i} \mathbb {Q} &K=\mathbb {C} \end{cases}}}$

를 정의하고,

${\displaystyle {\tilde {V}}=\left\{a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots +a_{n}e_{n}\colon n\in \mathbb {N} ,\;a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in {\tilde {K}}\right\}\subset V}$

를 생각하자. ${\displaystyle {\tilde {V}}}$는 가산 집합이므로, ${\displaystyle {\tilde {V}}}$가 조밀 집합임을 보이면 족하다.

임의의 원소

${\displaystyle V\ni v=\sum _{i=1}^{N}b_{i}e_{i}\qquad (b_{i}\in K\forall i=1,\dots ,N)}$

및 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$가 주어졌다고 하자. 이제, ${\displaystyle \|v-{\tilde {v}}\|<\epsilon }$인 ${\displaystyle {\tilde {v}}\in D}$를 찾으면 족하다.

${\displaystyle {\tilde {K}}\subset K}$의 조밀성으로 인하여,

${\displaystyle |b_{i}-{\tilde {b}}_{i}|<{\frac {\epsilon }{2^{i}\|e_{i}\|}}}$

인 ${\displaystyle {\tilde {b}}_{i}\in {\tilde {K}}}$를 고를 수 있다. 그렇다면

${\displaystyle {\tilde {v}}=\sum _{i=1}^{N}{\tilde {b}}_{i}e_{i}}$

로 놓으면, 삼각 부등식으로 인하여

${\displaystyle \|v-{\tilde {v}}\|\leq \sum _{i=1}^{N}|b_{i}-{\tilde {b}}_{i}|\cdot \|e_{i}\|<\epsilon \sum _{i=1}^{N}2^{-i}\leq \epsilon }$

이다.

그러나 샤우데르 기저를 갖지 않는 분해 가능 바나흐 공간이 존재한다.^[2]

기본열

바나흐 공간 ${\displaystyle V}$의 원소의 열 ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq V}$가 선형 생성

${\displaystyle \operatorname {Span} \{v_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots +a_{k}v_{k}\colon k\in \mathbb {Z} ^{+},\;a_{1},\dots ,a_{k}\in K\}}$

의 폐포의 샤우데르 기저를 이룬다면, 이를 기본열(基本列, 영어: basic sequence)이라고 한다. 만약 기본열이 그 선형 생성의 폐포의 무조건 샤우데르 기저를 이룬다면, 이를 무조건 기본열(無條件基本列, 영어: unconditional basic sequence)라고 한다.

모든 무한 차원 바나흐 공간은 기본열을 가진다. 그러나 무조건 기본열을 갖지 않는 무한 차원 바나흐 공간이 존재한다.^[3]

예

분해 가능 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 항상 무조건 샤우데르 기저이다.

L^p 공간 ${\displaystyle \ell ^{p}=\operatorname {L} ^{p}(\mathbb {N} )}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 표준 기저

${\displaystyle \{(e_{n})_{i}=\delta _{ni}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

은 ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$에 대하여 샤우데르 기저를 이룬다.

역사

페르 엔플로에게 거위를 증정하는 스타니스와프 마주르

율리우시 샤우데르가 1927년에 도입하였다.^[4]

스타니스와프 마주르는 1936년 11월 6일에 모든 분해 가능 바나흐 공간이 샤우데르 기저를 가지는지에 대한 문제를 제기하였고, 이를 증명하는 이에게 살아있는 거위를 포상하겠다고 공언하였다. 1973년에 스웨덴의 페르 엔플로가 이 문제를 부정적으로 해결하였고,^[2] 마주르는 엔플로에게 살아있는 거위를 선물하였다. 이 장면은 전 폴란드에 텔레비전으로 중계되었다.

같이 보기

• 바나흐 공간