선형 연속체

순서론에서 선형 연속체(線型連續體, 영어: linear continuum)는 상한이 존재하는 조밀 전순서 집합이다.

정의

선형 연속체 ${\displaystyle (L,\leq )}$는 다음 성질을 만족시키는 전순서 집합이다.^[1]:153

• 공집합이 아닌 모든 유계 집합은 상한을 갖는다.
• 조밀 순서이다.

성질

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 선형 연속체이다.
• 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다.

임의의 ${\displaystyle a,b\in L}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle a<b}$라면, 다음 부분 집합들 역시 선형 연속체이다.

• ${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in L\colon a<x\}}$
• ${\displaystyle (\infty ,a)=\{x\in L\colon x<a\}}$
• ${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in L\colon a\leq x\}}$
• ${\displaystyle (\infty ,a]=\{x\in L\colon x\leq a\}}$
• ${\displaystyle (a,b)=\{x\in L\colon a<x<b\}}$
• ${\displaystyle [a,b)=\{x\in L\colon a\leq x<b\}}$
• ${\displaystyle (a,b]=\{x\in L\colon a<x\leq b\}}$
• ${\displaystyle [a,b]=\{x\in L\colon a\leq x\leq b\}}$

예

선형 연속체의 예로는 다음을 들 수 있다.

• 실수선 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$
  • 실수의 (열린/닫힌) 반직선
  • 실수의 (열린/닫힌) 구간
• 긴 직선
  • 이는 연결 공간이지만 축약 가능 공간이 아니다.
• 사전식 순서를 부여한 ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$

그러나 다음은 선형 연속체가 아니다.

• 초실수선 ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$
• 유리수의 전순서 집합 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$