소수 계량 함수

소수 계량 함수(素數計量函數, 영어: prime-counting function)는 주어진 양의 실수 ${\displaystyle x}$에 대해 그 값보다 작거나 같은 소수의 개수를 세는 함수이다. 보통 그리스 소문자 π를 이용해 π(x)로 표기하지만, 원주율 π와는 관계가 없다.

최초 60이하의 자연수에 대한 ${\displaystyle \pi (n)}$의 값을 그린 그래프

역사

정수론에서 소수 개수의 증가 속도는 매우 중요한 관심 대상이다. 18세기 말 카를 프리드리히 가우스와 아드리앵마리 르장드르는 소수 계량 함수가 ${\displaystyle x/\ln(x)}$에 근접함을 추측했다. 즉,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1}$

라고 생각했고, 이는 소수 정리에 해당한다. 이와 동치로서 다음 극한이 있다.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{{\text{li}}(x)}}=1}$

여기서 li는 로그 적분 함수를 의미한다. 1859년 베른하르트 리만이 도입한 리만 제타 함수의 성질을 이용하여 1896년에 자크 아다마르와 샤를장 드 라 발레푸생이 각각 독립적으로 소수 정리를 증명하였다.

명시적 공식

소수 계량 함수는 다음과 같은 폰 망골트 명시적 공식(영어: von Mangoldt explicit formula)을 따른다.^[1] 이는 다른 L-함수들의 명시적 공식의 시초로 볼 수 있으며, 다음과 같다.

${\displaystyle \pi (x)=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\displaystyle \mu (n)/n\{Li({\sqrt[{n}]{x}})-\sum _{\rho }Ei(\rho \ln(x)/n)-ln(2)+\textstyle \int _{\sqrt[{n}]{x}}^{\infty }\displaystyle dt/t/(t^{2}-1)/ln(t)\}}$

이는 베른하르트 리만이 1859년에 발표한 논문의 주 내용인데, 엄밀한 증명은 1895년에 와서야 수학자 폰 망골트에 의해서 이루어졌다.

폰 망골트는 이 공식을 증명하면서 밑의 (사실상 동치인) 공식도 증명하였는데, 이는 다음과 같다:

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\rho \in S}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})}$

여기서

• ${\displaystyle S}$는 리만 제타 함수의 임계구역(critical strip)에 있는 영점들이다.

${\displaystyle S=\{\rho \in \mathbb {C} \colon \zeta (\rho )=0,\;0<\operatorname {Re} \rho <1\}}$

• 합 ${\displaystyle \sum _{\rho \in S}}$는 절대수렴하지 않는다. 이 경우 합은 ${\displaystyle |\operatorname {Im} \rho |}$의 순으로 계산하여 수렴하게 만든다.
• 위 공식은 x가 특정한 정수가 아니면서 1보다 큰 실수인 경우에 유효하다. 만약 ${\displaystyle x}$가 특정한 정수 (상단의 공식의 경우 소수, 하단의 공식의 경우 소수 및 소수의 자연수 거듭제곱)인 경우, 해당 점에서의 좌변의 좌극한과 우극한의 평균값이 우변과 같게 된다.
• 상단의 공식의 경우, 맨 앞의 (n을 수열의 index로 하는) 시그마 부호에서 n은 무한대까지 더할 필요 없고 x의 n제곱근이 2보다 작아지기 직전까지만 더하면 된다.

π(x), x / ln x, 및 li(x)의 수치적 계산 결과

다음 표는 세 함수를 직접 계산한 결과를 보여준다.

x	π(x)	π(x) − x / ln x	li(x) − π(x)	x / π(x)
10	4	−0.3	2.2	2.500
102	25	3.3	5.1	4.000
103	168	23	10	5.952
104	1 229	143	17	8.137
105	9 592	906	38	10.425
106	78 498	6 116	130	12.740
107	664 579	44 158	339	15.047
108	5 761 455	332 774	754	17.357
109	50 847 534	2 592 592	1 701	19.667
1010	455 052 511	20 758 029	3 104	21.975
1011	4 118 054 813	169 923 159	11 588	24.283
1012	37 607 912 018	1 416 705 193	38 263	26.590
1013	346 065 536 839	11 992 858 452	108 971	28.896
1014	3 204 941 750 802	102 838 308 636	314 890	31.202
1015	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1 052 619	33.507
1016	279 238 341 033 925	7 804 289 844 393	3 214 632	35.812
1017	2 623 557 157 654 233	68 883 734 693 281	7 956 589	38.116
1018	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536	21 949 555	40.420
1019	234 057 667 276 344 607	5 481 624 169 369 960	99 877 775	42.725
1020	2 220 819 602 560 918 840	49 347 193 044 659 701	222 744 644	45.028
1021	21 127 269 486 018 731 928	446 579 871 578 168 707	597 394 254	47.332
1022	201 467 286 689 315 906 290	4 060 704 006 019 620 994	1 932 355 208	49.636
1023	1 925 320 391 606 803 968 923	37 083 513 766 578 631 309	7 250 186 216	51.939