수렴 수열 공간

함수해석학에서 수렴 수열 공간(收斂數列空間, 영어: space of convergent sequence)은 어떤 값으로 수렴하는 수열들로 구성된 바나흐 공간이다. 기호는 c.

정의

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

수렴하는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-수열 (=코시 열)의 집합

${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )=\{a\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\colon \exists \lim _{i\to \infty }a_{i}\}}$

은 자연스럽게 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간을 이룬다. 그 위에 다음과 같은 노름을 부여하자.

${\displaystyle \|a\|_{\infty }=\sup _{i\in \mathbb {N} }|a_{i}|}$

그렇다면 이는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다. 이를 수렴 수열 공간 ${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}$라고 한다.

0으로 수렴하는 수열들로 구성된 부분 공간

${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )=\{a\in \operatorname {c} (\mathbb {K} )\colon \lim _{i\to \infty }a_{i}=0\}}$

은 ${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}$의 닫힌 부분 벡터 공간이므로, 마찬가지로 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다. 이를 영 수렴 수열 공간(零收斂數列空間, 영어: space of sequences converging to zero) ${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$이라고 한다.^{[1]:69, Example III.1.3}

성질

${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}$와 ${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간으로서 서로 동형이지만 (즉, 그 사이에 전단사 연속 선형 변환이 존재하지만), 바나흐 공간으로서 서로 동형이지 않다 (즉, 그 사이에 전단사 등거리 선형 변환이 존재하지 않는다).

구체적으로, 이 전단사 연속 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )\to \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\mapsto (\lim _{i}a_{i},a_{0}-\lim _{i}a_{i},a_{1}-\lim _{i}a_{i},\ldots )}$

분해 가능성

${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}$와 ${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$는 분해 가능 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간이다.

${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}$의 경우,

${\displaystyle f=\{a\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\colon \exists N\in \mathbb {N} \colon \forall i\geq N\colon a_{i}=a\}\cap {\begin{cases}\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }&\mathbb {K} =\mathbb {R} \\(\mathbb {Q} +\mathrm {i} \mathbb {Q} )^{\mathbb {N} }&\mathbb {K} =\mathbb {C} \end{cases}}}$

는 ${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}$ 속의 가산 조밀 집합을 이룬다.

${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$는 그 부분 집합이며, 분해 가능 거리 공간의 부분 집합은 분해 가능 공간이므로 마찬가지로 분해 가능 공간이다. 구체적으로, ${\displaystyle f\cap \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$의 가산 조밀 집합을 이룬다.^{[1]:69, Example III.1.3}

연속 쌍대 공간

${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}$의 연속 쌍대 공간과 ${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$의 연속 쌍대 공간은 둘 다 르베그 공간 ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}$과 동형이다.

${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}$의 경우 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )\times \ell ^{1}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} }$

${\displaystyle (x,y)\mapsto y_{0}\left(\lim _{i\to \infty }x_{i}\right)+\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$의 경우 이는 다음과 같다.^{[1]:73, Example III.2.3}

${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )\times \ell ^{1}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} }$

${\displaystyle (x,y)\mapsto \sum _{i=0}^{\infty }x_{i}y_{i}}$

${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}$의 쌍대 공간은 르베그 공간 ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )}$이므로, ${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}$와 ${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$는 반사 바나흐 공간이 아니다.

포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^{[1]:69, Example III.1.3}

${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{2}(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{3}(\mathbb {K} )\subsetneq \cdots \subseteq \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )\subsetneq \operatorname {c} (\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{0}(\mathbb {K} )=\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

여기서 ${\displaystyle \ell ^{p}}$는 르베그 공간이며, ${\displaystyle 0<p<\infty }$이다. 물론, ${\displaystyle 0<p<q<\infty }$라면 ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {K} )\supsetneq \ell ^{q}(\mathbb {K} )}$가 성립한다.

위 포함 관계들은 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환이지만 일반적으로 등거리 변환이 아니다. 다만, 다음 포함 관계들은 등거리 변환이다 (즉, 같은 노름을 갖는다).

${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )\subsetneq \operatorname {c} (\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )}$

샤우데르 기저

다음과 같은 수열들을 생각하자.

${\displaystyle (e_{i})_{j}=\delta _{ij}\qquad \forall i,j\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle e_{i}=(\overbrace {0,0,0,\ldots ,0} ^{i},1,0,0,\ldots )\qquad \forall i\in \mathbb {N} }$

여기서 ${\displaystyle \delta _{ij}}$는 크로네커 델타이다.

그렇다면, ${\displaystyle (e_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$은 ${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$의 무조건 샤우데르 기저를 이룬다.^{[2]:Chapter 2}