수학적 구조

수학적 구조(數學的構造, 영어: mathematical structure)는 집합과 그 위의 ‘추가 구조’로 이루어진다. 수학적 구조의 종류에는 집합, 대수 구조(군, 환, 체, 가군 등), 관계 구조(원순서 집합, 부분 순서 집합, 전순서 집합, 그래프 등), 기하학적 구조(위상 공간, 거리 공간, 매끄러운 다양체 등) 따위가 있다. 수학적 구조는 여러 구조를 동시에 갖출 수 있다. 예를 들어, 위상군 위에는 위상 공간의 구조와 군의 구조가 주어져 있으며, 두 구조는 특정한 호환 조건을 만족시킨다.

(같은 종류의) 수학적 구조 사이의 함수 가운데 일부는 정의역과 공역의 구조를 잘 보존한다. 예를 들어, 군의 구조를 보존하는 함수를 군 준동형, 위상 공간의 구조를 보존하는 함수를 연속 함수라고 부른다. 수학적 구조들은 구조를 보존하는 함수들과 함께 범주를 이룬다. 집합 위에 추가 구조가 있다는 사실을 잊으면, 단순히 집합과 함수의 범주만이 남는다. 이러한 성질을 갖는 범주를 구체적 범주라고 부른다. 즉, 수학적 구조는 어떤 구체적 범주의 대상이다. 이 정의는 앞선 정의와 달리 정식적이다.

모형 이론에서의 구조는 수학적 구조의 한 종류다. 이는 집합과 그 위의 일련의 (유한항) 연산 및 (유한항) 관계들로 이루어진다. 대수 구조와 관계 구조는 모형 이론적 구조의 특수한 경우다. 순서체는 대수 및 관계 구조를 동시에 갖춘 모형 이론적 구조의 한 예다. 반면, 대부분 기하학적 구조는 모형 이론적 구조로 여길 수 없다.

같이 보기

• 범주론
• 구조주의 (수리철학)

외부 링크

• 〈수학적 구조[mathematical structure,數學的構造]〉. 《두피디아》. (주)두산.
• “Structure(2)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.