순환군

군론에서, 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 한 원소로 생성될 수 있는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정된 원소의 거듭제곱이다. (군의 연산이 곱셈이 아닌 덧셈일 경우, 모든 원소는 고정 원소의 정수배이다.)

정의

군의 원소 ${\displaystyle g\in G}$가 생성하는 순환군 ${\displaystyle \langle g\rangle }$은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle g\rangle =\{g^{n}\colon n\in \mathbb {Z} \}=\{\dots ,g^{-2},g^{-1},1,g,g^{2},\dots \}\leq G}$

차수

군 ${\displaystyle G}$의 차수(次數, 영어: order,ord) 또는 위수(位數)는 집합으로서의 크기 ${\displaystyle |G|}$를 뜻한다.

군의 원소 ${\displaystyle g\in G}$의 차수 ${\displaystyle \operatorname {ord} g}$는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

${\displaystyle \operatorname {ord} g=|\langle g\rangle |={\begin{cases}\infty &\not \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\\\min\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\}&\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\end{cases}}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}}$

지수

군 ${\displaystyle G}$의 지수(指數, 영어: exponent) ${\displaystyle \exp G}$는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

${\displaystyle \exp G={\begin{cases}\infty &\not \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\forall g\in G\colon g^{n}=1\\\operatorname {lcm} _{g\in G}\operatorname {ord} g=\min\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \forall g\in G\colon g^{n}=1\}&\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\forall g\in G\colon g^{n}=1\end{cases}}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}}$

분류

순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.

${\displaystyle \langle g\rangle \cong {\begin{cases}Z&\operatorname {ord} g=\infty \\Z_{\operatorname {ord} g}&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}}$

성질

약수 관계

군의 유한 차수 원소 ${\displaystyle g\in G}$ 및 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle g^{n}=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n}$

증명:

(2) ⇒ (1) ${\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n}$이라면, ${\displaystyle n=n'\operatorname {ord} g}$인 ${\displaystyle n'\in \mathbb {Z} }$가 존재하므로, ${\displaystyle g^{n}=(g^{\operatorname {ord} g})^{n'}=1^{n'}=1}$이다.

(1) ⇒ (2) ${\displaystyle g^{n}=1}$이라면, ${\displaystyle n}$과 ${\displaystyle \operatorname {ord} g}$의 나머지 있는 나눗셈을 ${\displaystyle n=q\operatorname {ord} g+r}$라고 하면, ${\displaystyle g^{r}=g^{n}g^{-\operatorname {ord} g}=1}$이므로, 차수의 정의에 따라 ${\displaystyle r=0}$이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n}$이다.

지수가 유한한 군 ${\displaystyle G}$ 및 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 ${\displaystyle g\in \mathbb {G} }$에 대하여, ${\displaystyle g^{n}=1}$
• ${\displaystyle \exp G\mid n}$

증명:

(2) ⇒ (1) ${\displaystyle \exp G\mid n}$이라면, ${\displaystyle n=n'\exp G}$인 ${\displaystyle n'\in \mathbb {Z} }$가 존재하므로, 임의의 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, ${\displaystyle g^{n}=(g^{\exp G})^{n'}=1^{n'}=1}$이다.

(1) ⇒ (2) 임의의 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여 ${\displaystyle g^{n}=1}$이라면, 임의의 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n}$이므로, 지수의 정의에 따라 ${\displaystyle \exp G\mid n}$이다.

유한군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {ord} g\mid \exp G\mid |G|}$

군의 유한 차수 원소 ${\displaystyle g\in G}$ 및 정규 부분군 ${\displaystyle N\triangleleft G}$에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {ord} (gN)\mid \operatorname {ord} g}$

증명:

${\displaystyle (gN)^{\operatorname {ord} g}=g^{\operatorname {ord} g}N=N}$

항등식

군의 유한 차수 원소 ${\displaystyle g\in G}$ 및 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {ord} g^{n}={\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}}$

증명:

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

• ${\displaystyle \operatorname {ord} g^{n}\mid {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}}$
  • 증명: ${\displaystyle (g^{n})^{\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=(g^{\operatorname {ord} g})^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1}$
• ${\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}}$
  • 증명: ${\displaystyle 1=(g^{n})^{\operatorname {ord} g^{n}}=g^{n\operatorname {ord} g^{n}}}$이므로, ${\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n\operatorname {ord} g^{n}}$이므로, ${\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid {\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\operatorname {ord} g^{n}}$이므로, ${\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}}$

군의 원소 ${\displaystyle g,h\in G}$가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle gh=hg}$
• ${\displaystyle \gcd\{\operatorname {ord} g,\operatorname {ord} h\}=1}$

그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {ord} (gh)=\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h}$

증명:

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

• ${\displaystyle \operatorname {ord} (gh)\mid \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h}$
  • 증명: ${\displaystyle (gh)^{\operatorname {ord} (gh)}=(g^{\operatorname {ord} g})^{\operatorname {ord} h}(h^{\operatorname {ord} h})^{\operatorname {ord} g}=1^{\operatorname {ord} h}1^{\operatorname {ord} g}=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)}$
  • 증명: ${\displaystyle 1=(gh)^{\operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}=h^{\operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}}$이므로, ${\displaystyle \operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}$이므로, ${\displaystyle \operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)}$이다. 비슷하게, ${\displaystyle \operatorname {ord} g\mid \operatorname {ord} h\operatorname {ord} (gh)}$이다. 따라서, ${\displaystyle \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)}$이다.

반대로, 군의 원소 ${\displaystyle x\in G}$의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.

${\displaystyle \operatorname {ord} x=mn\qquad (\gcd\{m,n\}=1)}$

그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 ${\displaystyle g,h\in G}$가 존재한다.

• ${\displaystyle x=gh=hg}$
• ${\displaystyle \operatorname {ord} g=m}$
• ${\displaystyle \operatorname {ord} h=n}$

증명:

베주 항등식에 따라, 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle u,v\in \mathbb {Z} }$가 존재한다.

${\displaystyle 1=mu+nv}$

조건을 만족시키는 ${\displaystyle g,h\in G}$를 다음과 같이 취할 수 있다.

${\displaystyle g=x^{nv}}$

${\displaystyle g=x^{mu}}$

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

• ${\displaystyle \operatorname {ord} g\mid m}$, ${\displaystyle \operatorname {ord} h\mid n}$
  • 증명: ${\displaystyle g^{m}=(x^{nv})^{m}=(x^{mn})^{v}=1^{v}=1}$
• ${\displaystyle m\mid \operatorname {ord} g}$, ${\displaystyle n\mid \operatorname {ord} h}$
  • 증명: ${\displaystyle mn=\operatorname {ord} (gh)=\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h}$

유한 아벨 군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle g\in G}$가 존재한다.

• 임의의 ${\displaystyle h\in G}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} g}$

즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \max _{g\in G}\operatorname {ord} g=\exp G}$

증명:

최대 차수 원소 ${\displaystyle g\in G}$를 취하자. 임의의 ${\displaystyle h\in G}$에 대하여,

${\displaystyle \operatorname {ord} h\nmid \operatorname {ord} g}$

라고 가정하자. 그렇다면,

${\displaystyle v_{p}(\operatorname {ord} g)<v_{p}(\operatorname {ord} h)}$

를 만족시키는 소인수 ${\displaystyle p\mid \operatorname {ord} h}$가 존재한다. 이 경우,

${\displaystyle \operatorname {ord} g^{p^{v_{p}(\operatorname {ord} g)}}={\frac {\operatorname {ord} g}{p^{v_{p}(\operatorname {ord} g)}}}}$

${\displaystyle \operatorname {ord} h^{\frac {\operatorname {ord} h}{p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)}}}=p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)}}$

이므로,

${\displaystyle \operatorname {ord} \left(g^{p^{v_{p}(\operatorname {ord} g)}}h^{\frac {\operatorname {ord} h}{p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)}}}\right)=p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)-v_{p}(\operatorname {ord} g)}\operatorname {ord} g>\operatorname {ord} g}$

이며, 이는 모순이다.

순환군

모든 순환군은 자명하게 유한 생성 아벨 군이다.

군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle G}$의 크기는 소수이다.
• ${\displaystyle G}$는 순환군이며, 단순군이다.
• ${\displaystyle G}$는 아벨 군이며, 단순군이다.

증명:

(1) ⇒ (2): ${\displaystyle |G|}$가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은 ${\displaystyle \{1_{G}\},G}$밖에 없으므로, ${\displaystyle G}$는 단순군이다. ${\displaystyle 1_{G}\neq g\in G}$를 취하자. 그렇다면, ${\displaystyle |\langle g\rangle |=p}$이므로, ${\displaystyle \langle g\rangle =G}$이다. 즉, ${\displaystyle G}$는 순환군이다.

(2) ⇒ (3): 모든 순환군은 아벨 군이다.

(3) ⇒ (1): ${\displaystyle |G|}$가 소수가 아니라고 가정하자. ${\displaystyle G}$가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, ${\displaystyle G}$는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. ${\displaystyle G}$가 순환군이 아닌 경우, 임의의 ${\displaystyle 1_{G}\neq g\in G}$를 취하자. 그렇다면, ${\displaystyle \langle g\rangle \triangleleft G}$이며, ${\displaystyle \langle g\rangle \neq 1,G}$이므로, ${\displaystyle G}$는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.

순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로, ${\displaystyle \langle g\rangle }$의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \langle g^{n}\rangle \qquad {\begin{cases}n\in \mathbb {Z} &\operatorname {ord} g=\infty \\n\mid \operatorname {ord} g&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}}$

순환군의 몫군 역시 순환군이다.

유한군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle G}$는 순환군이다.
• 임의의, ${\displaystyle |G|}$의 양의 약수 ${\displaystyle d}$에 대하여, ${\displaystyle \{H\leq G\colon |H|=d\}\leq 1}$이다.
• 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle |\{g\in G\colon g^{n}=1\}|\leq n}$이다.

증명:

(1) ⇒ (2): 순환군 ${\displaystyle \langle g\rangle }$의, 크기 ${\displaystyle d}$의 부분군은 ${\displaystyle \langle g^{\frac {\operatorname {ord} g}{d}}\rangle }$가 유일하다.

(1) ⇐ (2): 임의의 ${\displaystyle d\mid |G|}$에 대하여, ${\displaystyle |\{g\in G\colon \operatorname {ord} g=d\}|=\phi (d)}$임을 증명하자. (여기서 ${\displaystyle \phi }$는 오일러 피 함수이다.) 그렇다면, 특히 ${\displaystyle \operatorname {ord} g=|G|}$인 ${\displaystyle g\in G}$가 존재하므로, ${\displaystyle G}$는 순환군이다.

${\displaystyle \operatorname {ord} g=\operatorname {ord} h=d}$

인 ${\displaystyle g,h\in G}$를 취하자. 그렇다면, (2)에 의하여 ${\displaystyle \langle g\rangle =\langle h\rangle }$이므로, ${\displaystyle h=g^{n}}$인 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$가 존재한다. 차수 공식을 사용하면 ${\displaystyle \gcd\{n,d\}=1}$를 얻는다. 즉, ${\displaystyle |\{g\in G\colon \operatorname {ord} g=d\}|}$는 0이거나 ${\displaystyle \phi (d)}$이다. 그런데

${\displaystyle n=\sum _{d\mid |G|}\phi (d)}$

이므로, ${\displaystyle |\{g\in G\colon \operatorname {ord} g=d\}|=\phi (d)}$이다.

(1) ⇒ (3): ${\displaystyle n'=\gcd\{|G|,n\}}$으로 놓자. 만약 ${\displaystyle g^{n}=1}$이라면, ${\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n'}$이다. ${\displaystyle \langle g\rangle }$은 크기 ${\displaystyle \operatorname {ord} g}$의 유일한 부분군이며, 이는 크기 ${\displaystyle n'}$의 유일한 부분군에 포함된다. 특히, ${\displaystyle g}$는 크기 ${\displaystyle n'}$의 유일한 부분군의 원소다. 즉, ${\displaystyle g^{n}=1}$인 ${\displaystyle g}$는 ${\displaystyle n'}$개 이하만 존재한다.

(3) ⇒ (1): 임의의 소수 ${\displaystyle p}$ 및 ${\displaystyle p}$-쉴로브 부분군 ${\displaystyle P\leq G}$가 주어졌다고 하자. 임의의 ${\displaystyle g\in P}$에 대하여 ${\displaystyle g^{|P|}=1}$이다. 그런데 가정에 따라 이 방정식의 해는 ${\displaystyle |P|}$개 밖에 없으므로, ${\displaystyle P}$는 전체 해의 집합이다. 따라서, ${\displaystyle P}$는 ${\displaystyle G}$의 유일한 ${\displaystyle p}$-쉴로브 부분군이며, ${\displaystyle P}$는 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이다. 서로 다른 소수에 대한 쉴로브 부분군들의 크기는 서로소이므로, ${\displaystyle G}$는 쉴로브 부분군들의 직접곱이다.

이제, 크기가 서로소인 순환군들의 직접곱은 순환군이므로, 모든 쉴로브 부분군이 순환군임을 보이면 충분하다. 제1 쉴로브 정리에 따라, ${\displaystyle P}$는 지표 ${\displaystyle p}$의 부분군 ${\displaystyle P'}$을 가지며, 가정에 따라 이는 방정식 ${\displaystyle g^{|P|/p}=1}$의 해의 집합이다. 따라서, 임의의 ${\displaystyle g\in P\setminus P'}$에 대하여, ${\displaystyle g^{|P|}=1}$이며, ${\displaystyle g^{|P|/p}\neq 1}$이다. 즉, ${\displaystyle g}$는 ${\displaystyle P}$를 생성하며, ${\displaystyle P}$는 순환군이다.

순환군 ${\displaystyle Z_{m},Z_{n}}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle Z_{m}\oplus Z_{n}\cong Z_{mn}}$
• ${\displaystyle \gcd\{m,n\}=1}$

증명:

(2) ⇒ (1) ${\displaystyle \operatorname {ord} (1\oplus 1)=\operatorname {ord} (1\oplus 0)\operatorname {ord} (0\oplus 1)=mn}$

(1) ⇒ (2) 만약 ${\displaystyle \gcd\{m,n\}\neq 1}$이라면, ${\displaystyle |\{a\oplus b\in Z_{m}\oplus Z_{n}\colon (a\oplus b)^{\frac {mn}{\gcd\{m,n\}}}=1\}|=|Z_{m}\oplus Z_{n}|=mn>{\frac {mn}{\gcd\{m,n\}}}}$이므로, ${\displaystyle Z_{m}\oplus Z_{n}\not \cong Z_{mn}}$이다.

코시 정리에 따르면, 임의의 소인수 ${\displaystyle p\mid |G|}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {ord} g_{p}=p}$인 ${\displaystyle g_{p}\in G}$가 존재한다.

응용

유한 아벨 군의 분해

 이 부분의 본문은 아벨 군입니다.

유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. ${\displaystyle G}$가 아벨 유한 p-군, ${\displaystyle a\in G}$가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle G=\langle a\rangle \times B}$인 ${\displaystyle B\leq G}$가 존재한다.

증명:

귀류법을 사용하여, ${\displaystyle G}$가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle |G|\geq 2}$이며, ${\displaystyle G\neq \langle a\rangle }$이므로, 최소 차수 원소 ${\displaystyle b\in G\setminus \langle a\rangle }$를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.

• ${\displaystyle \operatorname {ord} b=p}$
  • 증명: 그렇지 않다면, ${\displaystyle \operatorname {ord} b=p^{e}}$ (${\displaystyle e\geq 2}$)이며, ${\displaystyle \operatorname {ord} b^{p}=p^{e-1}}$이므로, ${\displaystyle b^{p}\in \langle a\rangle }$이다. ${\displaystyle b^{p}=a^{n}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$)이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} a}{\gcd\{\operatorname {ord} a,n\}}}=\operatorname {ord} b^{p}<\operatorname {ord} b\leq \operatorname {ord} a}$이므로, ${\displaystyle p\mid n}$이다. 따라서, ${\displaystyle (ba^{-{\frac {n}{p}}})^{p}=1_{G}}$이며, ${\displaystyle ba^{-{\frac {n}{p}}}\in G\setminus \langle a\rangle }$인데, 이는 ${\displaystyle b}$의 선택과 모순이다.
• ${\displaystyle \langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1}$
  • 증명: ${\displaystyle 1_{G}\neq a^{m}=b^{n}\in \langle a\rangle \cap \langle b\rangle }$ (${\displaystyle 0\leq n<p}$)라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle 1=nu+pv}$인 ${\displaystyle u,v\in \mathbb {Z} }$가 존재하며, ${\displaystyle b=b^{nu}b^{pv}=a^{mu}\in \langle a\rangle }$이다. 이는 모순이다.
• ${\displaystyle a\langle b\rangle \in G/\langle b\rangle }$은 최대 차수 원소이다.
  • 증명: 우선 ${\displaystyle \operatorname {ord} (a\langle b\rangle )\mid \operatorname {ord} a}$이다. ${\displaystyle \operatorname {ord} (a\langle b\rangle )<\operatorname {ord} a}$라고 가정하면, ${\displaystyle (a\langle b\rangle )^{\frac {\operatorname {ord} a}{p}}=1}$이므로, ${\displaystyle a^{\frac {\operatorname {ord} a}{p}}\in \langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1}$이다. 이는 모순이다. 따라서 ${\displaystyle \operatorname {ord} (a\langle b\rangle )=\operatorname {ord} a}$이며, ${\displaystyle a\langle b\rangle \in G/\langle b\rangle }$은 최대 차수 원소이다.
• ${\displaystyle G/\langle b\rangle =\langle a\langle b\rangle \rangle \times (B/\langle b\rangle )}$인 ${\displaystyle \langle b\rangle \subseteq B\leq G/\langle b\rangle }$가 존재한다.
  • 증명: ${\displaystyle |G/\langle b\rangle |=|G|/p<|G|}$
• ${\displaystyle G=\langle a\rangle \times B}$
  • 증명: 우선, ${\displaystyle G/\langle b\rangle =\langle a\langle b\rangle \rangle \times (B/\langle b\rangle )=(\langle a\rangle /\langle b\rangle )\times (B/\langle b\rangle )=(\langle a\rangle B)/\langle b\rangle }$이므로, ${\displaystyle G=\langle a\rangle B}$이다. 또한, ${\displaystyle (\langle a\rangle \cap B)/\langle b\rangle \subseteq (\langle a\rangle /\langle b\rangle )\cap (B/\langle b\rangle )=\{\langle b\rangle \}}$이므로, ${\displaystyle \langle a\rangle \cap B\subseteq \langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1}$이며, ${\displaystyle G=\langle a\rangle \times B}$이다.

같이 보기

• 프뤼퍼 군
• 원군

외부 링크

• “Cyclic group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Exponent of a group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cyclic group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Cyclic group”. 《nLab》 (영어).
• “Order of a group”. 《nLab》 (영어).
• “Exponent of a group”. 《nLab》 (영어).
• “Cyclic group”. 《Groupprops》 (영어).
• “Order of a group”. 《Groupprops》 (영어).
• “Exponent of a group”. 《Groupprops》 (영어).
• “Cyclic group”. 《PlanetMath》 (영어).
• “Order (of a group)”. 《PlanetMath》 (영어).
• “Exponent”. 《PlanetMath》 (영어).