P-군

군론에서 p-군(영어: p-group)은 모든 원소의 위수가 소수 ${\displaystyle p}$의 거듭제곱인 군이다.

정의

${\displaystyle p}$가 소수라 하자. ${\displaystyle p}$-군은 모든 원소의 위수가 소수 ${\displaystyle p}$의 거듭제곱인 군이다. 즉, 군 ${\displaystyle G}$의 모든 원소 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여,

${\displaystyle g^{p^{n(g)}}=1}$

인 ${\displaystyle n(g)\in \mathbb {N} }$이 존재할 경우, ${\displaystyle G}$를 ${\displaystyle p}$-군이라고 한다.

성질

유한 ${\displaystyle p}$-군의 크기는 항상 ${\displaystyle p}$의 거듭제곱이다. 반대로, 크기가 ${\displaystyle p}$의 거듭제곱인 유한군은 항상 ${\displaystyle p}$-군이다.

번사이드 정리에 따라, 유한 ${\displaystyle p}$-군은 항상 가해군이다. 사실, 유한 ${\displaystyle p}$-군은 항상 멱영군이며, 반대로 유한 멱영군은 항상 (서로 다른 ${\displaystyle p}$에 대한) ${\displaystyle p}$-군들의 직접곱이다. ${\displaystyle a\geq 2}$에 대하여, 크기가 ${\displaystyle p^{a}}$인 유한 ${\displaystyle p}$-군의 멱영류는 ${\displaystyle a-1}$ 이하이다.

자명군이 아닌 유한 ${\displaystyle p}$-군은 항상 자명하지 않은 중심을 갖는다.

유한 ${\displaystyle p}$-군의 프라티니 부분군에 대한 몫군은 크기 ${\displaystyle p}$의 순환군들의 직접곱(즉, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$-벡터 공간의 덧셈군)이다.

분류

유한 ${\displaystyle p}$-군은 크기 ${\displaystyle p^{n}}$에 따라 분류할 수 있다. ${\displaystyle n\leq 6}$인 경우는 모두 분류되었고, ${\displaystyle n\geq 7}$인 경우는 가짓수가 매우 많아 나열하기 힘들다.

n=logp|G|	아벨 p-군	비아벨 p-군
0	자명군 1	(없음)
1	순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$	(없음)
2	${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{\oplus 2}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{2}}$	(없음)
3 (${\displaystyle p>2}$)	${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{\oplus 3}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{2}\oplus \mathbb {Z} /p}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{3}}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{\oplus 2}\rtimes \mathbb {Z} /p}$, ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p^{2})\rtimes \mathbb {Z} /p}$
3 (${\displaystyle p=2}$)	(${\displaystyle p>2}$인 경우와 동일)	정이면체군 ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{4}}$, 사원수군 ${\displaystyle Q_{8}}$

참고 문헌

• Hall, Philip (1940). “The classification of prime-power groups”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 182 (182): 130–141. doi:10.1515/crll.1940.182.130. ISSN 0075-4102. MR 0003389.
• Leedham-Green, C. R.; Susan McKay (2002). 《The structure of groups of prime power order》. London Mathematical Society Monographs (New Series) (영어) 27. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853548-5. MR 1918951. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Sims, Charles (1965). “Enumerating p-groups”. 《Proceedings of the London Mathematical Society (Third Series)》 (영어) 15: 151–166. doi:10.1112/plms/s3-15.1.151. MR 0169921.

외부 링크

• “p-group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “p-group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.