슈발레-바르닝 정리

수론에서, 슈발레-바르닝 정리(영어: Chevalley–Warning theorem)는 변수가 많고 차수가 낮은 유한체 계수 연립 다항 방정식이 유일한 해를 가질 수 없다는 정리이다.

정의

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$가 표수가 ${\displaystyle p}$, 크기가 ${\displaystyle q}$인 유한체라고 하자. ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}\in \mathbb {F} _{q}[t_{1},\dots ,t_{n}]}$가 ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{m}}$차 다항식들이며,

${\displaystyle d_{1}+\cdots +d_{m}<n}$

이라고 하자. 또한

${\displaystyle V(f_{1},\dots ,f_{m})=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {F} _{q}^{n}\colon f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=\cdots =f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\}}$

이 이에 대응하는 연립 다항 방정식의 해의 집합이라고 하자. 슈발레-바르닝 정리에 따르면,

${\displaystyle p\mid \#V(f_{1},\dots ,f_{m})}$

이다.^{[1]:605, Theorem 1.1[2]:273, Theorem 6.8} 즉, 체의 표수는 이 연립 다항 방정식의 해의 개수를 나눈다. 특히,

${\displaystyle \#V(f_{1},\dots ,f_{r})\neq 1}$

이다. 즉, 이 연립 다항 방정식의 해는 존재하지 않거나, 2개 이상이다.

증명:

임의의 ${\displaystyle i\in \{0,1,\dots ,q-2\}}$에 대하여

${\displaystyle \sum _{x\in \mathbb {F} _{q}}x^{i}=0}$

이다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 편의상 ${\displaystyle i>0}$이라고 하자. ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$의 가역원군 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{\times }}$은 순환군이다. ${\displaystyle a}$가 그 생성 원소라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle \sum _{x\in \mathbb {F} _{q}}x^{i}=\sum _{j=0}^{q-2}(a^{j})^{i}={\frac {a^{i(q-1)}-1}{a^{i}-1}}=0}$

이다.

만약 단항식 ${\displaystyle t_{1}^{a_{1}}\cdots t_{n}^{a_{n}}}$의 차수 ${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}}$이 ${\displaystyle n(q-1)}$ 미만이라면, ${\displaystyle a_{i}<q-1}$인 ${\displaystyle i}$가 존재하므로,

${\displaystyle \sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {F} _{q}^{n}}x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}=\left(\sum _{x_{1}\in \mathbb {F} _{q}}x_{1}^{a_{1}}\right)\cdots \left(\sum _{x_{n}\in \mathbb {F} _{q}}x_{n}^{a_{n}}\right)=0}$

이다.

만약 다항식 ${\displaystyle f\in \mathbb {F} _{q}[t_{1},\dots ,t_{n}]}$의 차수가 ${\displaystyle n(q-1)}$ 미만이라면, ${\displaystyle f}$는 차수가 ${\displaystyle n(q-1)}$ 미만인 단항식들의 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$-선형 결합이므로,

${\displaystyle \sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {F} _{q}^{n}}f(x_{1},\dots ,x_{n})=0}$

이다.

다항식

${\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{n})=\prod _{i=1}^{m}(1-f_{i}(t_{1},\dots ,t_{n})^{q-1})\in \mathbb {F} _{q}[t_{1},\dots ,t_{n}]}$

을 생각하자. 그렇다면,

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{cases}1&(x_{1},\dots ,x_{n})\in V(f_{1},\dots ,f_{m})\\0&(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {F} _{q}^{n}\setminus V(f_{1},\dots ,f_{m})\end{cases}}}$

이며,

${\displaystyle \deg f=(q-1)\sum _{i=1}^{m}d_{i}<(q-1)n}$

이다. 따라서,

${\displaystyle 0=\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {F} _{q}^{n}}f(x_{1},\dots ,x_{n})=\#V(f_{1},\dots ,f_{m})\cdot 1_{\mathbb {F} _{q}}}$

이다. 즉, ${\displaystyle p\mid \#V(f_{1},\dots ,f_{r})}$이다.

역사

1935년에 레너드 유진 딕슨^[3]과 에밀 아르틴은 차수가 변수 개수보다 작은 유한체 계수 동차 다항식이 자명하지 않은 해를 가진다고 추측하였다.

클로드 슈발레가 1935년 논문에서 슈발레-바르닝 정리의 약한 형태(${\displaystyle \#V(f_{1},\dots ,f_{r})\neq 1}$)를 증명하였다.^[4] 에발트 바르닝(영어: Ewald Warning, 1910~1999)이 1935년 논문에서 슈발레-바르닝 정리(${\displaystyle p\mid \#V(f_{1},\dots ,f_{r})}$)를 증명하였다.^[5] (두 논문은 같은 학술지 같은 호에 연이어 실렸다.)