슈발레 기저

리 군론에서 슈발레 기저(Chevalley基底, 영어: Chevalley basis)는 모든 구조 상수가 정수인, 반단순 리 대수의 특별한 기저이다. 이를 통해, 정수환 또는 임의의 가환환을 계수로 하는 반단순 리 대수의 형태를 정의할 수 있다.

정의

표수 0의 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 반단순 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 근계

${\displaystyle \Phi \subseteq {\mathfrak {h}}=\mathbb {R} ^{\operatorname {rank} ({\mathfrak {g}})}}$

를 고르자. 그렇다면, 근계의 기저의 지표를 ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,\operatorname {rank} ({\mathfrak {g}})\}}$라고 하면, 카르탕-베유 기저

${\displaystyle [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }\qquad (\alpha \in \Phi )}$

${\displaystyle [H_{i},H_{j}]=0}$

${\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]={\begin{cases}N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }&\alpha +\beta \in \Phi \\0&0\neq \alpha +\beta \not \in \Phi \\H_{i}&\alpha +\beta =0\end{cases}}}$

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }\in \mathbb {Z} }$

를 잡을 수 있다.

그러나 이 기저에서의 구조 상수 ${\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {R} }$는 일반적으로 정수가 아니다.

이제, ${\displaystyle \Phi }$의 단순근

${\displaystyle \Sigma \subseteq \Phi }$

${\displaystyle |\Sigma |=\operatorname {rank} ({\mathfrak {g}})}$

을 고르고, 그 카르탕 행렬이

${\displaystyle A_{ij}=(\alpha _{i},\alpha _{j}^{\vee })={\frac {2(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{j},\alpha _{j})}}\in \mathbb {Z} }$

라고 하자. 이제, ${\displaystyle V}$의 다른 기저

${\displaystyle {\tilde {H}}_{\sigma }=(\sigma _{i}^{\vee },H_{i})\qquad (\sigma \in \Sigma )}$

를 정의하자. 그렇다면,

${\displaystyle [{\tilde {H}}_{\sigma },{\tilde {H}}_{\sigma '}]=0}$

${\displaystyle [{\tilde {H}}_{\sigma },E_{\alpha }]=A_{ij}E_{\alpha }}$

${\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]={\begin{cases}N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }&\alpha +\beta \in \Phi \\0&0\neq \alpha +\beta \not \in \Phi \\\sum _{\sigma \in \Sigma }(\sigma ,\beta )H_{\sigma }&\alpha +\beta =0\end{cases}}}$

가 되어, 모든 구조 상수가 정수가 된다. 이를 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 슈발레 기저라고 한다.

이에 따라, 위 리 괄호로 정의되는 정수 리 대수 ${\displaystyle \mathbb {g} (\mathbb {Z} )}$를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 가환환 ${\displaystyle K}$에 대하여, ${\displaystyle K}$-리 대수

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(K)={\mathfrak {g}}(\mathbb {Z} )\otimes _{\mathbb {Z} }K}$

를 정의할 수 있다. 만약 ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$일 경우, 이는 반단순 리 대수의 분할 형태(영어: split form)이다.

예

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}$의 경우, 슈발레 기저는

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle E_{+}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle E_{-}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle [E_{+},E_{-}]=H}$

${\displaystyle [H,E_{\pm }]=\pm 2E_{+}}$

이다.

즉, 이 경우 정수 계수를 취하면

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}\colon a,b,c\in \mathbb {Z} \right\}}$

를 얻는다.

역사

클로드 슈발레가 유한 단순군을 연구하기 위하여 도입하였다.

외부 링크

• “Cartan-Weyl basis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Tao, Terry (2013년 4월 27일). “Notes on the classification of complex Lie algebras”. 《What’s New》 (영어). 2017년 12월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 12월 23일에 확인함.