슈어 보조정리

슈어 보조정리(Schur's lemma)는 군 표현론에서 기약 표현 사이의 군의 작용과 가환하는 선형사상은 가역 사상이거나 0이라는 보조정리다.

정의

${\displaystyle R}$가 환이고, ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle N}$이 ${\displaystyle R}$에 대한 단순 가군이라고 하자. 그렇다면 가군 준동형 ${\displaystyle M\to N}$은 가역 사상이거나 상수 함수 0(영 사상)이다. 이 사실을 슈어 보조정리라고 한다.

군에 대한 슈어 보조정리

${\displaystyle G}$가 군이고, ${\displaystyle V}$가 벡터 공간이고, ${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} (V)}$가 군의 표현이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle V}$는 ${\displaystyle \rho }$로 인하여 군환 ${\displaystyle V[G]}$에 대한 가군을 이룬다. 이 때, ${\displaystyle V}$가 단순 가군임과 ${\displaystyle \rho }$가 기약 표현임은 필요충분조건이다. 따라서, 이 경우 슈어 보조정리에 따르면 두 기약 표현 ${\displaystyle G\to \operatorname {GL} (V_{1}),\operatorname {GL} (V_{2})}$사이, 군 작용과 가환하는 선형 변환 ${\displaystyle V_{1}\to V_{2}}$(가군 준동형 사상)은 가역 사상이거나 영 사상이다. 물론, 두 기약 표현의 차원이 같을 경우에만 가역 사상일 수 있다.

응용

슈어 보조정리는 군 표현론에서 다음과 같이 쓰인다. 체 ${\displaystyle K}$ 위의 단위 결합 대수 ${\displaystyle R}$가 주어졌다고 하고, ${\displaystyle K}$-벡터 공간 ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle R}$ 위의 단순 가군이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle V}$의 자기 사상환

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}V=\hom _{R{\text{-Mod}}}(V,V)}$

을 생각할 수 있다. 슈어 보조정리에 따라서 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}V}$는 ${\displaystyle K}$ 위의 나눗셈환이다. ${\displaystyle M}$이 유한 차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간이며, ${\displaystyle K}$가 비가산 대수적으로 닫힌 체 (예를 들어, 복소수체 ${\displaystyle \mathbb {C} }$)라면, 그 위의 나눗셈환은 ${\displaystyle K}$ 자체밖에 없으며, 따라서 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}V=K}$이다. 다시 말해, ${\displaystyle R}$의 모든 원소와 가환인 ${\displaystyle V}$ 위의 선형 변환은 항등 함수의 스칼라배 밖에 없다.

특히, ${\displaystyle R=U({\mathfrak {g}})}$가 복소수 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 위의 보편 포락 대수라고 하고, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 복소수 기약 표현 ${\displaystyle V}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 슈어 보조정리에 따라 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 카시미르 불변량 (보편 포락 대수의 중심) ${\displaystyle C\in Z(U({\mathfrak {g}}))}$는 ${\displaystyle V}$ 위에 항등 함수의 스칼라배이다. 따라서, 복소수체 위의 리 대수의 기약 표현은 카시미르 불변량의 값으로 분류된다.

역사

이사이 슈어가 1905년 발표하였다.^[1]

같이 보기

• 슈어 보수행렬