결합 대수

추상대수학에서 결합 대수(結合代數, 영어: associative algebra)는 결합 법칙을 만족시키는 대수이다. 즉, 가군과 유사환의 구조를 동시에 갖춘 대수 구조이다. 가군이 아벨 군을 일반화하는 것처럼, 단위 결합 대수는 환을 일반화한다.

이 문서는 결합 법칙을 만족시키는 일반적인 대수에 관한 것입니다. 순서론과 조합론에서, 근접 관계(영어: incidence)를 추상화한 대수적 구조에 대해서는 근접 대수 문서를 참고하십시오.

정의

유사 결합 대수

가환 유사환 ${\displaystyle R}$ 위의 유사 결합 대수(영어: (possibly) non-unital associative algebra) ${\displaystyle (M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)}$는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.

• ${\displaystyle (M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R})}$는 ${\displaystyle R}$의 가군을 이룬다.
• ${\displaystyle (M,0,+,*)}$은 유사환을 이룬다.

이는 다음과 같은 추가 공리를 만족시켜야 한다.

• 모든 ${\displaystyle r\in R}$ 및 ${\displaystyle m,n\in M}$에 대하여, ${\displaystyle r\cdot (m*n)=(r\cdot m)*n=m*(r\cdot n)}$

이는 유사환의 준동형 ${\displaystyle R\to Z(M)}$과 같다. 여기서 ${\displaystyle Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}}$은 ${\displaystyle M}$의 중심이다.

유사 결합 대수의 준동형은 ${\displaystyle (0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)}$를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 유사환의 준동형을 이루는 함수이다. 유사 결합 대수와 유사 대수 준동형의 범주를 ${\displaystyle R{\text{-nuAssoc}}}$이라고 하자.

결합 대수

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 (단위) 결합 대수(單位結合代數, 영어: (unital) associative algebra) ${\displaystyle (M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*,1)}$는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.

• ${\displaystyle (M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)}$는 ${\displaystyle R}$ 위의 유사 결합 대수를 이룬다.
• ${\displaystyle (M,0,1,+,*)}$은 환을 이룬다.

이는 환 준동형 ${\displaystyle R\to Z(M)}$과 같다. 여기서 ${\displaystyle Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}}$은 ${\displaystyle M}$의 중심이다.

결합 대수의 준동형은 ${\displaystyle (0,1,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)}$를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 환 준동형을 이루는 함수이다. 이들은 유사 결합 대수의 준동형 가운데, 단위원을 추가로 보존하는 것들이다. 결합 대수와 결합 대수 준동형의 범주를 ${\displaystyle R{\text{-Assoc}}}$이라고 하자.

가환 대수

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 결합 대수 가운데, 가환환인 것을 가환 대수(영어: commutative algebra)라고 한다. ${\displaystyle R}$ 위의 단위 가환 대수 ${\displaystyle M}$은 가환환 준동형 ${\displaystyle R\to M}$과 같다.

성질

결합 대수의 모임과 유사 결합 대수의 모임 둘 다 대수 구조 다양체를 이루며, 이에 따라 곱 · 쌍대곱 · 시작 대상 · 끝 대상의 존재를 알 수 있다.

구조	유사 결합 대수	결합 대수
시작 대상	영가군	${\displaystyle R}$
끝 대상	영가군	영가군
곱	유사환으로서의 곱	(유사)환으로서의 곱
쌍대곱	결합 대수의 자유곱	단위 결합 대수의 자유곱

즉, 유사 결합 대수의 범주는 영 대상을 가지지만, 결합 대수의 경우는 시작 대상과 끝 대상이 서로 다르다. 두 범주에서 곱은 서로 같으며, 곱집합과 호환되지만, 쌍대곱은 서로 다르다.

또한, (유사) 결합 대수의 범주에는 텐서곱 ${\displaystyle \otimes _{R}}$이 존재하며, 이는 ${\displaystyle R}$ 위의 가군의 텐서곱과 같다. 이에 따라 결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

망각 함자

유사 결합 대수의 범주에서 유사환의 범주로 가는 망각 함자

${\displaystyle R{\text{-nuAssoc}}\to \operatorname {Rng} }$

및 결합 대수의 범주에서 환의 범주로 가는 망각 함자

${\displaystyle R{\text{-Assoc}}\to \operatorname {Ring} }$

가 존재한다. 후자의 왼쪽 수반 함자는 ${\displaystyle S\mapsto R\otimes _{\mathbb {Z} }S}$이다.

또한, 결합 대수의 범주에서 유사 결합 대수의 범주로 가는 망각 함자

${\displaystyle R{\text{-Assoc}}\to R{\text{-nuAssoc}}}$

가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 단위원이 없는 유사 결합 대수 ${\displaystyle A}$를

${\displaystyle A\mapsto R\oplus A}$

로 대응시킨다 (${\displaystyle \oplus }$는 아벨 군의 직합). 이 경우, ${\displaystyle R\oplus A}$ 위의 연산은 다음과 같다.

${\displaystyle s\cdot (r,a)=(sr,s\cdot a)}$

${\displaystyle (r,a)*(s,b)=(rs,s\cdot a,r\cdot b,a*b)}$

분류

복소수체 위의 5차원 이하의 (유사) 결합 대수는 모두 완전히 분류되었다.^[1]

3차원 이하 복소수 결합 대수

${\displaystyle \mathbb {C} }$ 위의 1차원 결합 대수는 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 자체 밖에 없다. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 위의 2차원 단위 결합 대수는 두 개가 있으며, 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2}-1)}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$

둘 다 가환 대수이므로, 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학적으로, 전자는 두 개의 닫힌 점 ${\displaystyle \pm 1}$으로 구성되어 있으며, 후자는 (축소환이 아니므로) 원점을 닫힌 점으로 하는 비축소 스킴이다. 이 둘은 각각 1차원 복소수 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식 · 퇴화 이차 형식에 대한 클리퍼드 대수이다.

${\displaystyle \mathbb {C} }$ 위의 3차원 결합 대수는 다섯 개가 있으며, 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2}-x,y^{2}-y,xy)}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2}-x,y^{2},xy)}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2},y^{2},xy)}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{4})}$

${\displaystyle \mathbb {C} \langle x,y\rangle /\left(x^{2}-1,y^{2},(x-1)y,y(x-1)\right)}$

이 가운데 처음 네 개는 가환 대수이며, 마지막 하나는 비가환 대수이다.

예

환론

특별한 가환환 위의 (유사) 결합 대수는 다음과 같은 특별한 이름이 있다.

가환환 ${\displaystyle R}$	${\displaystyle R}$ 위의 유사 결합 대수	${\displaystyle R}$ 위의 결합 대수
정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$	유사환	환
${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$	표수가 ${\displaystyle n}$의 약수인 유사환 (${\displaystyle ns=0\forall s}$)	표수가 ${\displaystyle n}$의 약수인 환

모든 환 ${\displaystyle S}$는 스스로의 중심 ${\displaystyle Z(S)\{r\in S\colon rs=sr\forall s\in S\}}$에 대한 결합 대수를 이룬다. 또한, 임의의 가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여 환 준동형 ${\displaystyle R\to Z(S)}$가 주어졌다면, ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle R}$ 위의 결합 대수를 이룬다. 특히, 가환환의 준동형 ${\displaystyle R\to S}$가 주어졌다면, ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle R}$ 위의 가환 결합 대수를 이룬다.

추가 구조를 갖는 대수

리 대수의 보편 포락 대수는 결합 대수이다. 마찬가지로, 클리퍼드 대수나 외대수는 결합 대수이다.

복소수체 ${\displaystyle \mathbb {C} }$와 사원수 대수 ${\displaystyle \mathbb {H} }$는 실수 위의 결합 대수이다. 복소수체에서 사원수 대수로 가는 포함 관계 ${\displaystyle a+bi\subseteq \{a+bi+cj+dk\}}$를 잡으면, 사원수 대수는 복소수체 위의 결합 대수를 이룬다.

함수 대수

${\displaystyle R}$가 위상환이라고 하자. 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 연속 함수 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X;R)}$의 집합은 자연스럽게 ${\displaystyle R}$ 위의 결합 대수의 구조가 존재한다.

${\displaystyle r\cdot f\colon x\mapsto r\cdot f(x)}$

${\displaystyle f*g\colon x\mapsto f(x)\cdot g(x)}$

${\displaystyle 0\colon x\mapsto 0_{R}}$

${\displaystyle 1\colon x\mapsto 1_{R}}$

마찬가지로, 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 함수의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}$은 실수체 위의 결합 대수의 구조를 가진다.