실베스터 행렬

가환대수학에서 실베스터 행렬(Sylvester行列, 영어: Sylvester matrix)은 두 다항식의 공약 다항식에 대한 정보를 담고 있는 정사각 행렬이다.^[1]

정의

가환환 ${\displaystyle R}$ 계수를 갖는 두 0이 아닌 다항식 ${\displaystyle p,q\in R[x]}$의 실베스터 행렬은 ${\displaystyle (\deg p+\deg q)\times (\deg p+\deg q)}$ 정사각 행렬이다. 구체적으로, 만약

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{m}p_{i}x^{i}}$

${\displaystyle q(x)=\sum _{i=0}^{n}q_{i}x^{i}}$

${\displaystyle p_{m}q_{n}\neq 0}$

라면, ${\displaystyle p}$와 ${\displaystyle q}$의 실베스터 행렬은 다음과 같은 ${\displaystyle (m+n)\times (m+n)}$ 행렬이다.

${\displaystyle S(p,q)={\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0&0\\0&p_{m}&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&p_{m}&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0\\0&0&\cdots &0&p_{m}&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots &p_{1}&p_{0}\\q_{n}&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0&0\\0&q_{n}&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&q_{n}&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0\\0&0&\cdots &0&q_{n}&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots &q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}}$

성질

가환환 계수를 갖는 두 다항식의 실베스터 행렬의 행렬식은 두 다항식의 종결식과 같다. 가환환 계수의 다항식의 판별식은 자기 자신과 그 도함수의 종결식을 사용하여 나타낼 수 있으므로, 역시 실베스터 행렬의 행렬식을 통해 나타낼 수 있다.

두 다항식 ${\displaystyle p,q\in R[x]}$에 대하여,

${\displaystyle \deg(\gcd(p,q))=\deg p+\deg q-\operatorname {rank} S(p,q)}$

이다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {rank} }$는 행렬의 계수이다.

특히, 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 및 두 다항식 ${\displaystyle p,q\in K[x]}$가 근을 공유하지 않을 필요충분조건은 ${\displaystyle S(p,q)}$가 가역 행렬인 것이며, ${\displaystyle p\mid q}$일 필요충분조건은 ${\displaystyle \operatorname {rank} S(p,q)=\deg q}$이다.

역사

제임스 조지프 실베스터가 도입하였다. 실베스터는 판별식을 실베스터 행렬의 행렬식을 통해 나타낼 수 있음을 보였다.^[2]:149