종결식

가환대수학에서 종결식(終結式, 영어: resultant)은 두 다항식이 근을 공유하는지 여부를 나타내는 값이며, 실베스터 행렬의 행렬식이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$를 계수로 갖는 두 다항식

${\displaystyle p(x)=p_{\deg p}x^{\deg p}+\cdots \in K[x]}$

${\displaystyle q(x)=q_{\deg q}x^{\deg q}+\cdots \in K[x]}$

의 종결식은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {res} (p,q)=p_{\deg p}^{\deg q}q_{\deg q}^{\deg q}\prod _{x\colon p(x)=0}\prod _{y\colon q(y)=0}(x-y)}$

즉, ${\displaystyle p}$의 근들과 ${\displaystyle q}$의 근들의 모든 차들의 곱이다. 이 경우, 근이 중복된다면 중복수만큼 거듭하여 계산한다.

두 다항식의 종결식은 실베스터 행렬의 행렬식과 같다. 이는 ${\displaystyle p}$와 ${\displaystyle q}$의 계수들의 다항식이므로, 대수적으로 닫힌 체가 아닌 임의의 가환환의 계수를 갖는 다항식환에서 정의할 수 있다.

성질

임의의 가환환 ${\displaystyle R}$ 및 ${\displaystyle p,q,r\in R[x]}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• (등급 가환성) ${\displaystyle \operatorname {res} (p,q)=(-1)^{\deg p\deg q}\operatorname {res} (q,p)}$
• (승법성) ${\displaystyle \operatorname {res} (pq,r)=\operatorname {res} (p,r)\operatorname {res} (q,r)}$

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 및 0이 아닌 ${\displaystyle p,q\in K[x]}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^{[1]:203, Corollary 8.4}

• ${\displaystyle \operatorname {res} (p,q)=0}$
• ${\displaystyle p}$와 ${\displaystyle q}$는 적어도 하나의 근을 공유한다.
• ${\displaystyle p}$와 ${\displaystyle q}$의 최대 공약 다항식은 자명하지 않다.

같이 보기

• 판별식