쌍곡공간

쌍곡 기하학에서 쌍곡공간(雙曲空間, 영어: hyperbolic space)은 균일한 음의 곡률을 갖는 동차공간이다.

정의

${\displaystyle n\geq 2}$가 2 이상의 정수라고 하자. n차원 쌍곡공간 ${\displaystyle H^{n}}$은 모든 곳에서, 모든 방향으로의 단면 곡률(영어: sectional curvature)이 −1인 ${\displaystyle n}$차원 연결 단일 연결 최대 대칭(영어: maximally symmetric) 리만 다양체이다.

성질

쌍곡공간 ${\displaystyle H^{n}}$은 ${\displaystyle n}$차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$과 위상동형이자 미분동형이지만, 유클리드 공간과 쌍곡공간 사이에 등거리사상은 존재하지 않는다.

쌍곡공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

${\displaystyle R_{ijkl}=-(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})}$

여기서 ${\displaystyle g_{ij}}$는 쌍곡공간의 계량 텐서이다.

쌍곡공간의 등거리변환군은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군 ${\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(1,n)}$이다.

모형

${\displaystyle n}$차원 쌍곡공간 ${\displaystyle H^{n}}$은 다양한 좌표계로 정의할 수 있다.

푸앵카레 반공간

 이 부분의 본문은 푸앵카레 반평면입니다.

n차원 열린 상반공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{n-1}=\{(z,\mathbf {x} )|z>0,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n-1}\}}$에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.

${\displaystyle ds^{2}=z^{-2}(dz^{2}+\Vert d\mathbf {x} \Vert ^{2})}$

이 리만 다양체는 ${\displaystyle H^{n}}$과 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 반공간 모형(영어: Poincaré half-space model)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 ${\displaystyle z=0}$ 평면에 수직인 반원들이다. 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {dist} (z_{1},\mathbf {x} _{1};z_{2},\mathbf {x} _{2})=\cosh ^{-1}\left(1+{\frac {\Vert \mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\Vert ^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}{2z_{1}z_{2}}}\right)}$

푸앵카레 공

 이 부분의 본문은 푸앵카레 원판입니다.

반지름이 1인 n차원 열린 초공 ${\displaystyle B^{n}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}|\Vert \mathbf {x} \Vert <1\}}$에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자. 여기서 ${\displaystyle (r,\Omega )}$는 구면좌표계이다 (${\displaystyle r\in [0,1)}$, ${\displaystyle \Omega \in S^{n-1}}$).

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{(1-r^{2})^{2}}}(dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2})}$

이 리만 다양체는 ${\displaystyle H^{n}}$과 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 공 모형(영어: Poincaré ball model)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 구면 ${\displaystyle \partial B^{n}=S^{n-1}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}|\Vert \mathbf {x} \Vert =1\}}$에 수직인 원호이다.

갠스 모형

n차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$에, 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.

${\displaystyle ds^{2}={\frac {d{\tilde {r}}^{2}}{1+{\tilde {r}}^{2}}}+{\tilde {r}}^{2}d\Omega ^{2}}$

여기서 ${\displaystyle ({\tilde {r}},\Omega )}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 구면좌표계이다. 이 리만 다양체는 ${\displaystyle H^{n}}$과 등거리사상을 가지며, 이를 갠스 모형(영어: Gans model)이라고 한다.^[1] 갠스 모형 ${\displaystyle ({\tilde {r}},\Omega )}$은 푸앵카레 공 모형 ${\displaystyle (r,\Omega )}$과 다음과 같이 대응한다.

${\displaystyle {\tilde {r}}=2r/(1-r^{2})}$

갠스 모형은 쌍곡면 모형 ${\displaystyle (t,\rho ,\Omega )}$과 다음과 같이 대응한다.

${\displaystyle (t,\rho )=({\sqrt {1+r^{2}}},r)}$

즉, 이는 쌍곡면 모형 ${\displaystyle (t,\mathbf {x} )}$을 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 공간으로 그대로 사영한 것이다.

쌍곡면 모형

${\displaystyle n+1}$차원 민코프스키 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,n}=\{(t,\mathbf {x} )|t\in \mathbb {R} ,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\}}$은 다음과 같은 계량을 갖는다.

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\Vert d\mathbf {x} \Vert ^{2}}$

민코프스키 공간 속의, 다음과 같은 ${\displaystyle n}$차원 초곡면을 생각하자.

${\displaystyle \{(t,\mathbf {x} )\in \mathbb {R} ^{1,n}|t^{2}-\Vert \mathbf {x} \Vert ^{2}=1,\;t>0\}}$

이 초곡면은 민코프스키 공간으로부터 계량 텐서를 유도받으며, 이 계량 텐서는 양의 정부호임을 보일 수 있다. 따라서, 이 초곡면은 리만 다양체를 이룬다. 이 리만 다양체는 ${\displaystyle H^{n}}$과 등거리사상을 가지며, 이를 쌍곡면 모형(영어: hyperboloid model)이라고 한다.

동차공간으로서의 정의

쌍곡공간은 동차공간으로서 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle H^{n}\cong \operatorname {O} ^{+}(1,n)/\operatorname {O} (n)}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(1,n)}$은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군이며, ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$은 직교군이다.