측지선

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기하학에서 측지선(測地線, geodesic) 또는 지름길이란 직선의 개념을 굽은 공간으로 일반화한 것이다. 많은 경우, 측지선은 표면의 두 지점 사이의 가장 짧은 경로를 나타내는 곡선이다. (준 리만 다양체, 예를 들어 로렌츠 다양체의 경우 정의는 더 복잡하다.) 아핀 접속을 갖는 매끄러운 다양체에서도 정의될 수 있다.

정의

로비어 공간 ${\displaystyle (X,d)}$과 닫힌구간 ${\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} }$가 주어졌다고 하자.

만약 함수

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$

에 대하여, 다음 조건이 성립하게 하는 상수 ${\displaystyle v\in [0,\infty )}$가 존재한다면, ${\displaystyle \gamma }$를 (대역적) 측지선((大域的)測地線, 영어: (global) geodesic)이라고 한다.^{[1]:4, Definition 1.3[2]:Definition 7.1(2)}

${\displaystyle \forall s,t\in [a,b]\colon s\leq t\implies d(\gamma (s),\gamma (t))=v(t-s)}$

이는 항상 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 물론 ${\displaystyle v(b-a)}$이다. ${\displaystyle v}$를 측지선 ${\displaystyle \gamma }$의 속력(速力, 영어: speed)이라고 한다.

만약 닫힌구간 ${\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} }$ 위에 정의된 함수

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$

가 다음 조건을 만족시킨다면, 국소 측지선(局所測地線, 영어: local geodesic)이라고 한다.^{[1]:4, Definition 1.3[2]:Definition 7.1(2)}

임의의 ${\displaystyle t\in [a,b]}$에 대하여, 제한 ${\displaystyle \gamma \upharpoonright [c,d]}$가 대역적 측지선이 되는 닫힌 근방 ${\displaystyle [a,b]\supseteq [c,d]\ni t}$가 존재한다.

사실 ${\displaystyle [a,b]}$가 콤팩트 공간이므로, 위 조건은 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수 ${\displaystyle v\in [0,\infty )}$ 및 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$의 존재와 동치이다.

${\displaystyle \forall s,t\in [a,b]\colon 0\leq t-s<\epsilon \implies d(\gamma (s),\gamma (t))=v(t-s)}$

이 역시 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 역시 ${\displaystyle v(b-a)}$이다.

로비어 공간 ${\displaystyle (X,d)}$에 대하여, 다음 조건들을 정의하자.

• 만약 임의의 두 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \gamma (a)=x}$이자 ${\displaystyle \gamma (b)=y}$인 대역적 측지선 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$가 존재한다면, ${\displaystyle (X,d)}$를 측지선 로비어 공간(測地線Lawvere空間, 영어: geodesic Lawvere space)이라고 한다.^{[1]:4, Definition 1.3}
• 만약 임의의 두 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \gamma (0)=x}$이자 ${\displaystyle \gamma (1)=y}$인 대역적 측지선 ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$가 유일하게 존재한다면, ${\displaystyle (X,d)}$를 유일 측지선 로비어 공간(唯一測地線Lawvere空間, 영어: uniquely geodesic Lawvere space)이라고 한다.^{[1]:4, Definition 1.3}

모든 측지선 로비어 공간은 길이 로비어 공간이다.

다양체의 측지선

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 아핀 접속 ${\displaystyle \nabla }$
• 실수 닫힌구간 ${\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} ,\qquad (a\leq b)}$

이 경우, ${\displaystyle M}$ 위의 에너지 측지선은 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 곡선

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M}$

이다. 우선, ${\displaystyle \gamma }$의 상을 포함하는 임의의 열린집합 ${\displaystyle U\supseteq \gamma ([a,b])}$ 위에, 다음 조건을 만족시키는 임의의 벡터장을 고르자.

${\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(U,\mathrm {T} U)}$

${\displaystyle \forall t\in [a,b]\colon {\dot {\gamma }}(t)=X_{\gamma (t)}}$

그렇다면, ${\displaystyle X}$는 다음 조건을 만족시켜야 하며, 이를 측지선 방정식(測地線方程式, geodesic equation)이라고 한다.

${\displaystyle \forall t\in [a,b]\colon (\nabla _{X}X)_{\gamma (t)}=0\in {\mathrm {T} }_{\gamma (t)}M}$

측지선 방정식은 대략 접벡터가 측지선을 따라 이동할 때 평행을 유지한다는 것을 의미한다.

이 조건이 성립하는지 여부는 사실 ${\displaystyle X}$의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 사실, 위 조건은 국소 좌표계로 적으면 다음과 같다.

${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{k}+\sum _{i,j}\Gamma _{ij}^{k}{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{j}=0}$

여기서 ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$는 ${\displaystyle \nabla }$의 크리스토펠 기호이다.

성질

기초적 성질

임의의 로비어 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 및 임의의 양의 실수 ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{+}}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle (X,Cd)}$ 역시 로비어 공간을 이룬다. 이 경우, ${\displaystyle (X,Cd)}$의 (국소) 측지선은 다음과 같다.

• 임의의 함수 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$에 대하여, ${\displaystyle \gamma }$가 측지선인 것은 ${\displaystyle \gamma '\colon [Ca,Cb]\to (X,Cd)}$, ${\displaystyle t\mapsto \gamma (t/c)}$가 측지선인 것과 동치이다.
• 임의의 함수 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$에 대하여, ${\displaystyle \gamma }$가 국소 측지선인 것은 ${\displaystyle \gamma '\colon [Ca,Cb]\to (X,Cd)}$, ${\displaystyle t\mapsto \gamma (t/c)}$가 국소 측지선인 것과 동치이다.

마찬가지로, 반대 로비어 공간 ${\displaystyle X^{\operatorname {op} }=(X,d^{\operatorname {op} })}$ 위의 측지선은 다음과 같다.

• 임의의 함수 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$에 대하여, ${\displaystyle b>a}$일 때, ${\displaystyle \gamma }$가 측지선인 것은 ${\displaystyle \gamma '\colon [a,b]\to X^{\operatorname {op} }}$, ${\displaystyle t\mapsto \gamma (b-(t-a)/(a-b))}$가 측지선인 것과 동치이다.
• 임의의 함수 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$에 대하여, ${\displaystyle b>a}$일 때, ${\displaystyle \gamma }$가 국소 측지선인 것은 ${\displaystyle \gamma '\colon [a,b]\to X^{\operatorname {op} }}$, ${\displaystyle t\mapsto \gamma (b-(t-a)/(a-b))}$가 국소 측지선인 것과 동치이다.

임의의 매끄러운 다양체 및 아핀 접속 ${\displaystyle (M,\nabla )}$에 대하여, 그 위의 에너지 측지선은 매개 변수의 아핀 변환에 의존하지 않는다.

위상수학적 성질

임의 확장 유사 거리 공간(즉, 대칭 계량을 갖는 로비어 공간)에서, (상수 ${\displaystyle v}$에 대하여 성립하는) 측지선은 항상 (같은 상수 ${\displaystyle v}$에 대한) 립시츠 연속 함수이며, 특히 균등 연속 함수이자 연속 함수이다.

일반적 로비어 공간의 경우 측지선이 (열린 공 위상에서) 연속 함수일 필요는 없다. 그러나 닫힌구간 ${\displaystyle [a,b]}$ 위에 다음과 같은 기저를 갖는 조르겐프라이 위상

${\displaystyle \{[c,d)\cap [a,b]\colon c,d\in \mathbb {R} \}\colon }$

을 부여할 때, 측지선 ${\displaystyle [a,b]\to X}$는 ${\displaystyle X}$의 열린 공 위상에 대하여 연속 함수이다. (조르겐프라이 위상은 표준적 위상보다 더 섬세한 위상이다.)

길이 공간

길이 로비어 공간 ${\displaystyle (X,d)}$의 경우, 함수 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$가 속력 1의 측지선이 될 필요 충분 조건은 ${\displaystyle \gamma }$가 두 점 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$를 잇는 최단의 길이를 갖는 곡선인 것이다.

리만 다양체

준 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위의 매끄러운 함수

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M}$

에 대하여, 다음과 같은 두 범함수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\;\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \operatorname {energy} (\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\;\mathrm {d} t}$

이 둘은 ${\displaystyle \gamma }$에 대한 작용을 이루며, 이 둘에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 정의할 수 있다. ${\displaystyle \operatorname {length} (\gamma )}$는 곡선의 길이이며, ${\displaystyle \operatorname {energy} (\gamma )}$는 단위 질량의 입자의 (비(非)상대론적) 운동 에너지이다. 길이 범함수는 매개 변수의 변환에 대하여 불변이지만, 에너지 범함수의 경우 그렇지 않다.

임의의 준 리만 다양체에서, 에너지 범함수 ${\displaystyle \operatorname {energy} }$의 오일러-라그랑주 방정식은 측지선 방정식과 같다.

유도:

편의상 아인슈타인 표기법을 사용하자. 에너지 범함수는 다음과 같은 라그랑지언의 적분이다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,v)={\frac {1}{2}}g_{ij}v^{i}v^{j}}$

일반화 운동량은 다음과 같다.

${\displaystyle p_{i}(x,v)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v^{i}}}=g^{ij}v_{j}}$

${\displaystyle {\frac {\partial p_{i}}{\partial v^{j}}}=g_{ij}}$

${\displaystyle {\frac {\partial p_{i}}{\partial x^{j}}}=v^{k}\partial _{j}g_{ik}}$

마찬가지로, 일반화 힘은 다음과 같다.

${\displaystyle F_{i}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}={\frac {1}{2}}v^{j}v^{k}\partial _{i}g_{jk}}$

따라서 오일러-라그랑주 방정식은 다음에 ${\displaystyle {\dot {v}}_{i}\mapsto {\ddot {\gamma }}^{i}(t)}$, ${\displaystyle v^{i}\mapsto {\dot {\gamma }}^{i}(t)}$, ${\displaystyle x^{i}\mapsto \gamma (t)}$를 대입하여 얻는다.

${\displaystyle F_{i}={\frac {\partial p_{i}}{\partial v^{j}}}{\dot {v}}^{j}+{\frac {\partial p_{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}=g_{ij}{\dot {v}}^{j}+v^{j}v^{k}\partial _{j}g_{ik}}$

즉, 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\dot {\gamma }}^{j}{\dot {\gamma }}^{k}\partial _{i}g_{jk}=g_{ij}{\ddot {\gamma }}^{j}+{\dot {\gamma }}^{j}{\dot {\gamma }}^{k}\partial _{j}g_{ik}}$

즉, 이를 재정리하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{k}={\frac {1}{2}}{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{j}g^{kl}\left(\partial _{l}g_{ij}-2\partial _{i}g_{jl}\right)={\frac {1}{2}}{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{j}g^{kl}\left(\partial _{l}g_{ij}-\partial _{i}g_{jl}-\partial _{j}g_{il}\right)=-{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{j}\Gamma _{ij}^{k}}$

리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$는 매끄러운 다양체이며, 또한 항상 길이 로비어 공간을 이룬다. 이에 따라, 측지선의 개념과 다양체 측지선의 개념을 동시에 적용할 수 있다. 리만 다양체 위의 에너지 측지선

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M}$

의 경우, ${\displaystyle \gamma \circ f}$가 국소 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수 ${\displaystyle [a',b']\to [a,b]}$가 존재한다. 반대로, 매끄러운 국소 측지선 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M}$의 경우, ${\displaystyle \gamma \colon g}$가 에너지 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수 ${\displaystyle [a',b']\to M}$이 존재한다.

예

임의의 로비어 공간 또는 매끄러운 다양체 ${\displaystyle X}$ 위의 상수 곡선

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$

${\displaystyle \gamma \colon t\mapsto x\qquad \forall t\in [a,b]}$

는 자명하게 측지선을 이룬다.

이산 공간과 비이산 공간

임의의 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, 크기 ${\displaystyle \kappa }$의 집합 ${\displaystyle X}$ 위에 유사 거리 함수

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\\infty &x\neq y\end{cases}}\qquad \forall x,y\in X}$

를 부여하자. (이는 이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 측지선은 상수 곡선 밖에 없다.

크기 ${\displaystyle \kappa }$의 집합 ${\displaystyle X}$ 위에 로비어 공간 구조

${\displaystyle d(x,y)=0\qquad \forall x,y\in X}$

를 주자. (이는 비이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 임의의 곡선

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$

은 측지선이다.

노름 공간

노름 공간 ${\displaystyle (V,\|\|)}$가 주어졌다고 하자. 만약 거리 함수

${\displaystyle d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|}$

를 부여하였을 때, 이는 유일 측지선 공간이며, 임의의 서로 다른 두 벡터 ${\displaystyle u,v\in V}$ 사이의 측지선은 다음과 같은 꼴의 선분이다.

${\displaystyle \gamma \colon [0,\|u-v\|]\to V}$

${\displaystyle \gamma \colon t\mapsto u+{\frac {t}{\|v-u\|}}(v-u)\qquad (u\neq v)}$

특히, 유클리드 공간의 거리는 위와 같이 노름으로 주어지므로, 유클리드 공간의 측지선은 선분이다. 유클리드 공간을 리만 다양체로 여겼을 때, (직교좌표계에서) 크리스토펠 기호가 0이다.

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=0}$

따라서 측지선 방정식은 단순히 가속도가 0인 것이 된다.

${\displaystyle {\ddot {\gamma }}=0}$

초구

 이 부분의 본문은 대원입니다.

구면 위의, 세 개의 측지선을 ‘변’으로 하는 ‘삼각형’

초구 위의 측지선은 대원이라고 한다.

직선 위의 리만 계량

실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위에 다음과 같은 리만 계량을 주자.

${\displaystyle d(x,x')=\int _{x}^{x'}{\sqrt {g(y)}}\,\mathrm {d} y\qquad (x\leq x')}$

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}}$

그렇다면, 이 경우 크리스토펠 기호는 다음과 같다.

${\displaystyle \Gamma (x)={\frac {1}{2g(x)}}{\dot {g}}(x)={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(g(x))}$

측지선 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\ddot {\gamma }}(t)+\Gamma (\gamma (t)){\dot {\gamma }}(t)^{2}=0}$

이는 2차 상미분 방정식이다. 이는 위치 및 속도 의존 힘

${\displaystyle F=-\Gamma (\gamma (t)){\dot {\gamma }}^{2}}$

의 영향을 받는 입자의 운동이다.

예를 들어, 크리스토펠 기호가 상수인 경우, 즉

${\displaystyle g(x)=g_{0}\exp(2\Gamma x)}$

인 경우, 이 방정식은

${\displaystyle {\ddot {\gamma }}(t)+\Gamma {\dot {\gamma }}(t)^{2}=0}$

이며, 그 해는

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)=\left(v_{0}+\Gamma t\right)^{-1}}$

${\displaystyle \gamma (t)=\Gamma ^{-1}\ln |v_{0}+\Gamma t|+x_{0}}$

이다.

역사와 어원

‘측지선’이라는 용어는 지구상의 두 점 사이의 최단 경로(대원의 일부)^[3] 따위를 연구하는 측지학에서 온 것이다. 한국어의 경우, 대한수학회 용어집에서는 "측지선",^[4] 한국물리학회 용어집에서는 "지름길"을 쓴다.^[5] 측지선은 헤아릴 측(測), 땅 지(地), 줄 선(線) 자를 쓴다.^[6]

응용

일반 상대성 이론에서, 시공간은 준 리만 다양체를 이룬다. 이 경우, 시험 입자(에너지와 운동량이 매우 작아, 시공간에 거의 영향을 끼치지 않는 입자)는 시공간의 측지선을 따라 움직인다.

같이 보기

• 지름길
• 일반 상대성 이론의 지름길
• 굽은 시공간
• 타원면에 대한 측지선
• 지오데식