실폐체

체론과 모형 이론에서 실폐체(實閉體, 영어: real closed field)는 실수체와 기본 동치인 체이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 실폐체라고 한다.

• ${\displaystyle K}$의 1차 논리 언어 ${\displaystyle (K,+,-,0,\cdot ,1)}$는 실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 1차 논리 언어 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,-,0,\cdot ,1)}$과 기본 동치이다.
• 모든 홀수 차수 다항식은 적어도 하나의 근을 가지며, 또한 ${\displaystyle K}$ 위에 다음 두 조건을 만족시키는 전순서 ${\displaystyle \leq }$가 존재한다.
  • ${\displaystyle (K,\leq )}$는 순서체를 이룬다.
  • 모든 양의 원소는 제곱수이다. 즉, ${\displaystyle \forall a\in K\colon \left(a>0\implies \exists b\in K\colon a=b^{2}\right)}$이다.
• ${\displaystyle K}$ 위에 다음 조건을 만족시키는 전순서 ${\displaystyle \leq }$가 존재한다.
  • ${\displaystyle (K,\leq )}$는 순서체를 이룬다.
  • ${\displaystyle \leq }$는 대수적 확대에 대하여 확대될 수 없다. 즉, ${\displaystyle K}$의 임의의 대수적 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle [L:K]>1}$이며, ${\displaystyle L}$에 전순서 ${\displaystyle \leq _{L}}$를 부여하여 ${\displaystyle (L,\leq _{L})}$이 순서체를 이룬다면, ${\displaystyle \leq _{L}|_{K\times K}\neq \leq }$이다.
• ${\displaystyle K}$ 위에 다음 조건을 만족시키는 전순서 ${\displaystyle \leq }$가 존재한다.
  • ${\displaystyle (K,\leq )}$는 순서체를 이룬다.
  • 모든 다항식에 대하여 중간값 정리가 성립한다. 즉, 임의의 ${\displaystyle p\in K[x]}$ 및 임의의 ${\displaystyle a,b\in K}$ 및 임의의 ${\displaystyle {\tilde {c}}\in K}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle a\leq b}$이며 ${\displaystyle f(a)\leq {\tilde {c}}\leq f(b)}$라면, ${\displaystyle f(c)={\tilde {c}}}$이자 ${\displaystyle a\leq c\leq b}$인 ${\displaystyle c\in K}$가 존재한다.
• ${\displaystyle K}$는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 또한 ${\displaystyle {\bar {K}}/K}$는 유한 확대이다.
• ${\displaystyle K}$는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 확대체 ${\displaystyle K({\sqrt {-1}})}$은 대수적으로 닫힌 체이다.
• ${\displaystyle K}$는 스스로의 대수적 폐포 속에서 극대 형식적 실체(영어: formally real field)이다. 즉, ${\displaystyle K}$는 형식적 실체이며, 임의의 대수적 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여 ${\displaystyle [L:K]>1}$이라면, ${\displaystyle L}$은 형식적 실체가 아니다.

실폐체 ${\displaystyle K}$ 위에는 다음과 같이 표준적인 전순서를 주어 순서체로 만들 수 있다.

${\displaystyle a\leq b\iff \exists c\in K\colon a+c^{2}=b}$

성질

아르틴-슈라이어 정리(영어: Artin–Schreier theorem)에 따르면, 임의의 순서체 ${\displaystyle (K,\leq )}$ 및 그 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {K}}}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 중간체 ${\displaystyle K\leq K^{\operatorname {re} }\leq {\bar {K}}}$가 존재한다.

• ${\displaystyle K^{\operatorname {re} }}$는 실폐체이다.
• ${\displaystyle K^{\operatorname {re} }}$ 위의 표준적 전순서 ${\displaystyle \leq _{K^{\operatorname {re} }}}$를 ${\displaystyle K}$에 제한하면, 이는 ${\displaystyle \leq }$와 같다.

이 경우 ${\displaystyle K^{\operatorname {re} }}$를 ${\displaystyle K}$의 실폐포(實閉包, 영어: real closure)라고 한다.

예

다음과 같은 체들은 실폐체를 이룬다.

• 실수인 대수적 수들의 체 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}\cap \mathbb {R} }$
• 계산 가능한 수의 체
• 정의 가능한 수의 체
• 실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 모든 초실수체
• 실수 계수의 퓌죄 급수들의 체 ${\displaystyle \mathbb {R} ((x,x^{1/2},x^{1/3},x^{1/4},\dots ))}$

참고 문헌

• Rajwade, A. R. (1993). 《Squares》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.

외부 링크

• “Real closed field”. 《nLab》 (영어).