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아벨-디니-프링스하임 판정법

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미적분학에서 아벨-디니-프링스하임 판정법(영어: Abel–Dini–Pringsheim test) 혹은 아벨-디니-프링스하임 정리(영어: Abel–Dini–Pringsheim theorem)는 임의의 양의 실수발산급수로부터 더 느리게 발산하는 발산급수를 구성하는 수렴 판정법이다.[1]:§IX.39 마찬가지로, 임의의 양의 실수수렴급수로부터 더 느리게 수렴하는 수렴급수를 만들 수 있다. 이에 따라, 특정 급수에 기반한 수렴 판정법은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다.

정의와 증명

요약
관점

발산급수

발산급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따르면, 임의의 양의 실수수열 에 대하여, 만약

라면, 다음 명제들이 성립한다 ().

  • (A)
  • (B) 임의의 양의 실수 에 대하여,
  • (C) 만약 추가로 이라면,

이에 따라, 급수

일 때 수렴하며, 일 때 발산한다.

증명 (A):

가정에 따라, 증가수열이며 무한대로 발산한다. 따라서, 임의의 에 대하여,

이 존재한다. 따라서,

이다. 즉, 코시 수열이 아니다. 즉, 급수

는 발산한다.

증명 (B):

만약 이라면, 충분히 큰 에 대하여, 이므로 이다. 따라서, 인 경우를 생각하면 충분하다. 이 경우, 임의의 에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

이는

라고 하였을 때

이기 때문이다. 따라서, 다음이 성립한다.

증명 (C):

은 무한대로 발산하는 증가수열이다. 슈톨츠-체사로 정리에 따라, 다음이 성립한다.

마지막은 이 0으로 수렴한다는 가정과 극한 공식

에 의한다. (이 극한은 로그 항등식을 사용하여

와 같이 구하거나, 테일러 급수 전개

를 사용한다.)

수렴급수

수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따르면, 임의의 양의 실수수열 에 대하여, 만약

라면, 다음 명제들이 성립한다 ().

  • (A’)
  • (B’) 임의의 양의 실수 에 대하여,
  • (C’) 만약 추가로 이라면,

특히, 급수

일 때 수렴하며, 일 때 발산한다.

증명 (A’):

가정에 따라, 은 0으로 수렴하는 감소수열이다. 따라서, 임의의 에 대하여,

이 존재한다. 따라서,

이다. 즉, 급수

의 부분합은 코시 수열이 아니다. 즉, 이 급수는 발산한다.

증명 (B’):

만약 이라면, 충분히 큰 에 대하여, 이므로 이다. 따라서, 인 경우를 생각하면 충분하다. 이 경우, 임의의 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다 ((B)의 증명 참고).

따라서, 다음이 성립한다.

증명 (C’):

(C)에

를 대입한다.

둘 사이의 관계

발산급수·수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법은 서로 동치다. 구체적으로, 발산급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에

을 대입하면 수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법을 얻는다.[2]

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요약
관점

급수

는 발산하며, 그 번째 부분합은 이다. 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따라, 급수

일 때 수렴하며, 일 때 발산한다. 또한, 이 0으로 수렴하므로 점근 공식

이 성립한다.

이렇게 찾은 발산급수

에 대하여 다시 아벨-디니-프링스하임 판정법을 적용하자. 이 급수의 부분합 대신 이와 점근적으로 같은 수열 을 사용하여도 좋다. 따라서, 급수

일 때 수렴하며 일 때 발산한다. 또한, 이 0으로 수렴하므로

이다.

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역사

노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨은 (A)의 약한 형태를 증명하였다.[3] 이탈리아수학자 울리세 디니(이탈리아어: Ulisse Dini)이 (A)의 완전한 형태와 (B)의 약한 형태를 보였다.[4] (B)는 알프레트 프링스하임(독일어: Alfred Pringsheim)이 증명하였다.[5] (C)는 에르네스토 체사로(이탈리아어: Ernesto Cesàro)의 결과다.[6]

참고 문헌

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