아벨-디니-프링스하임 판정법

미적분학에서 아벨-디니-프링스하임 판정법(영어: Abel–Dini–Pringsheim test) 혹은 아벨-디니-프링스하임 정리(영어: Abel–Dini–Pringsheim theorem)는 임의의 양의 실수 항 발산급수로부터 더 느리게 발산하는 발산급수를 구성하는 수렴 판정법이다.^[1]:§IX.39 마찬가지로, 임의의 양의 실수 항 수렴급수로부터 더 느리게 수렴하는 수렴급수를 만들 수 있다. 이에 따라, 특정 급수에 기반한 수렴 판정법은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다.

정의와 증명

발산급수

발산급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따르면, 임의의 양의 실수의 수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset (0,\infty )}$에 대하여, 만약

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\infty }$

라면, 다음 명제들이 성립한다 (${\displaystyle S_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$).

• (A) ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}}}=\infty }$
• (B) 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}S_{n-1}^{\epsilon }}}<\infty }$
• (C) 만약 추가로 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}}}=0}$이라면, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{0}/S_{0}+a_{1}/S_{1}+\cdots +a_{n}/S_{n}}{\ln S_{n}}}=1}$

이에 따라, 급수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}^{t}}}}$

는 ${\displaystyle t>1}$일 때 수렴하며, ${\displaystyle t\leq 1}$일 때 발산한다.

증명 (A):

가정에 따라, ${\displaystyle S_{n}}$은 증가수열이며 무한대로 발산한다. 따라서, 임의의 ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}$에 대하여,

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{S_{n+k_{n}}}}<{\frac {1}{2}}}$

인 ${\displaystyle k_{n}\in \{0,1,2,\dots \}}$이 존재한다. 따라서,

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{S_{n}}}+\cdots +{\frac {a_{n+k_{n}}}{S_{n+k_{n}}}}\geq {\frac {a_{n}+\cdots +a_{n+k_{n}}}{S_{n+k_{n}}}}={\frac {S_{n+k_{n}}-S_{n+k_{n}}}{S_{n}}}=1-{\frac {S_{n}}{S_{n+k_{n}}}}>{\frac {1}{2}}}$

이다. 즉, ${\displaystyle a_{0}/S_{0}+\cdots +a_{n}/S_{n}}$은 코시 수열이 아니다. 즉, 급수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}}}}$

는 발산한다.

증명 (B):

만약 ${\displaystyle 0<\epsilon \leq \epsilon '}$이라면, 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle S_{n}\geq 1}$이므로 ${\displaystyle a_{n}/(S_{n}S_{n-1}^{\epsilon })\geq a_{n}/(S_{n}S_{n-1}^{\epsilon '})}$이다. 따라서, ${\displaystyle 0<\epsilon \leq 1}$인 경우를 생각하면 충분하다. 이 경우, 임의의 ${\displaystyle x\in (0,\infty )}$에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

${\displaystyle \epsilon (1-x)\leq 1-x^{\epsilon }}$

이는

${\displaystyle f(x)=\epsilon (1-x)-1+x^{\epsilon }}$

라고 하였을 때

${\displaystyle f(1)=0}$

${\displaystyle f'(x)=\epsilon (x^{\epsilon -1}-1)\geq 0\qquad (\forall x\in (0,1])}$

${\displaystyle f'(x)=\epsilon (x^{\epsilon -1}-1)\leq 0\qquad (\forall x\in [1,\infty ))}$

이기 때문이다. 따라서, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}S_{n-1}^{\epsilon }}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {S_{n}-S_{n-1}}{S_{n}S_{n-1}^{\epsilon }}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{S_{n-1}^{\epsilon }}}\left(1-{\frac {S_{n-1}}{S_{n}}}\right)\\&\leq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\epsilon S_{n-1}^{\epsilon }}}\left(1-\left({\frac {S_{n-1}}{S_{n}}}\right)^{\epsilon }\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\epsilon }}\left({\frac {1}{S_{n-1}^{\epsilon }}}-{\frac {1}{S_{n}^{\epsilon }}}\right)\\&={\frac {1}{\epsilon S_{0}^{\epsilon }}}\\&<\infty \end{aligned}}}$

증명 (C):

${\displaystyle \ln S_{n}}$은 무한대로 발산하는 증가수열이다. 슈톨츠-체사로 정리에 따라, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{0}/S_{0}+a_{1}/S_{1}+\cdots +a_{n}/S_{n}}{\ln S_{n}}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{0}/S_{0}+a_{1}/S_{1}+\cdots +a_{n}/S_{n}}{\ln S_{0}+\ln(S_{1}/S_{0})+\cdots +\ln(S_{n}/S_{n-1})}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}/S_{n}}{\ln(S_{n}/S_{n-1})}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}/S_{n}}{\ln(S_{n}/(S_{n}-a_{n}))}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}/S_{n}}{\ln(1/(1-a_{n}/S_{n}))}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(-{\frac {a_{n}/S_{n}}{\ln(1-a_{n}/S_{n})}}\right)\\&=1\end{aligned}}}$

마지막은 ${\displaystyle a_{n}/S_{n}}$이 0으로 수렴한다는 가정과 극한 공식

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {t}{\ln(1-t)}}=-1}$

에 의한다. (이 극한은 로그 항등식을 사용하여

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {t}{\ln(1-t)}}=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{\ln(1-t)^{1/t}}}={\frac {1}{\ln \mathrm {(} 1/\mathrm {e} )}}=-1}$

와 같이 구하거나, 테일러 급수 전개

${\displaystyle \ln(1-t)=-t-{\frac {t^{2}}{2}}-{\frac {t^{3}}{3}}-\cdots \qquad (|t|<1)}$

를 사용한다.)

수렴급수

수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따르면, 임의의 양의 실수의 수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset (0,\infty )}$에 대하여, 만약

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}<\infty }$

라면, 다음 명제들이 성립한다 (${\displaystyle r_{n}=a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots }$).

• (A’) ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}}}=\infty }$
• (B’) 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}^{1-\epsilon }}}<\infty }$
• (C’) 만약 추가로 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}}}=0}$이라면, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{0}/r_{0}+a_{1}/r_{1}+\cdots +a_{n}/r_{n}}{\ln r_{n}}}=-1}$

특히, 급수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}^{t}}}}$

는 ${\displaystyle t<1}$일 때 수렴하며, ${\displaystyle t\geq 1}$일 때 발산한다.

증명 (A’):

가정에 따라, ${\displaystyle r_{n}}$은 0으로 수렴하는 감소수열이다. 따라서, 임의의 ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}$에 대하여,

${\displaystyle {\frac {r_{n+k_{n}+1}}{r_{n}}}<{\frac {1}{2}}}$

인 ${\displaystyle k_{n}\in \{0,1,2,\dots \}}$이 존재한다. 따라서,

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{r_{n}}}+\cdots +{\frac {a_{n+k_{n}}}{r_{n+k_{n}}}}\geq {\frac {a_{n}+\cdots +a_{n+k_{n}}}{r_{n}}}={\frac {r_{n}-r_{n+k_{n}+1}}{r_{n}}}=1-{\frac {r_{n+k_{n}+1}}{r_{n}}}>{\frac {1}{2}}}$

이다. 즉, 급수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}}}}$

의 부분합은 코시 수열이 아니다. 즉, 이 급수는 발산한다.

증명 (B’):

만약 ${\displaystyle 0<\epsilon \leq \epsilon '}$이라면, 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle r_{n}<1}$이므로 ${\displaystyle a_{n}/r_{n}^{1-\epsilon }\geq a_{n}/r_{n}^{1-\epsilon '}}$이다. 따라서, ${\displaystyle 0<\epsilon \leq 1}$인 경우를 생각하면 충분하다. 이 경우, 임의의 ${\displaystyle x\in (0,\infty )}$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다 ((B)의 증명 참고).

${\displaystyle \epsilon (1-x)\leq 1-x^{\epsilon }}$

따라서, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}^{1-\epsilon }}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r_{n}-r_{n+1}}{r_{n}^{1-\epsilon }}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }r_{n}^{\epsilon }\left(1-{\frac {r_{n+1}}{r_{n}}}\right)\\&\leq \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r_{n}^{\epsilon }}{\epsilon }}\left(1-\left({\frac {r_{n+1}}{r_{n}}}\right)^{\epsilon }\right)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\epsilon }}(r_{n}^{\epsilon }-r_{n+1}^{\epsilon })\\&={\frac {r_{0}^{\epsilon }}{\epsilon }}\\&<\infty \end{aligned}}}$

증명 (C’):

(C)에

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{r_{n}}}}$

를 대입한다.

둘 사이의 관계

발산급수·수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법은 서로 동치다. 구체적으로, 발산급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에

${\displaystyle S_{n}'={\frac {1}{r_{n}}}}$

을 대입하면 수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법을 얻는다.^[2]

예

급수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }1}$

는 발산하며, 그 ${\displaystyle n}$번째 부분합은 ${\displaystyle n}$이다. 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따라, 급수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{t}}}}$

는 ${\displaystyle t>1}$일 때 수렴하며, ${\displaystyle t\leq 1}$일 때 발산한다. 또한, ${\displaystyle 1/n}$이 0으로 수렴하므로 점근 공식

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1+1/2+\cdots +1/n}{\ln n}}=1}$

이 성립한다.

이렇게 찾은 발산급수

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

에 대하여 다시 아벨-디니-프링스하임 판정법을 적용하자. 이 급수의 부분합 대신 이와 점근적으로 같은 수열 ${\displaystyle \ln n}$을 사용하여도 좋다. 따라서, 급수

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\ln ^{t}n}}}$

는 ${\displaystyle t>1}$일 때 수렴하며 ${\displaystyle t\leq 1}$일 때 발산한다. 또한, ${\displaystyle 1/(n\ln n)}$이 0으로 수렴하므로

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1+1/(2\ln 2)+\cdots +1/(n\ln n)}{\ln \ln n}}=1}$

이다.

역사

노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨은 (A)의 약한 형태를 증명하였다.^[3] 이탈리아의 수학자 울리세 디니(이탈리아어: Ulisse Dini)이 (A)의 완전한 형태와 (B)의 약한 형태를 보였다.^[4] (B)는 알프레트 프링스하임(독일어: Alfred Pringsheim)이 증명하였다.^[5] (C)는 에르네스토 체사로(이탈리아어: Ernesto Cesàro)의 결과다.^[6]