슈톨츠-체사로 정리

해석학에서 슈톨츠-체사로 정리(영어: Stolz–Cesàro theorem)는 두 수열의 비가 수렴할 충분조건을 제시하는 정리이다. 체사로 평균의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈의 정리의 이산적인 형태로 볼 수 있는데, 도함수의 개념 대신 계차수열의 개념을 사용한다.

정의

두 실수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• 분모 수열이 다음 세 조건 가운데 하나를 만족시킨다.
  • (0에 수렴하는 순단조수열) ${\displaystyle b_{1}<b_{2}<\cdots }$이거나 ${\displaystyle b_{1}>b_{2}>\cdots }$이며, 또한 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=0}$
  • (양의 무한대에 수렴하는 순증가수열) ${\displaystyle b_{1}<b_{2}<\cdots }$이며, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=+\infty }$ (이는 무계 순증가수열과 동치이다.)^[1]
  • (음의 무한대에 수렴하는 순감소수열) ${\displaystyle b_{1}>b_{2}>\cdots }$이며, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=-\infty }$ (이는 무계 순감소수열과 동치이다.)
• (계차수열의 비의 넓은 의미 수렴) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}}$

그렇다면, 슈톨츠-체사로 정리에 따르면 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}}$

증명

가장 기본적인, ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$이 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, 비의 극한이 실수에 수렴하는 경우를 증명하자. 우선 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}=\ell }$

그렇다면, ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$이 순증가수열임을 같이 고려하면, 임의의 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$이 존재하여, 임의의 ${\displaystyle n\geq N}$에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle (\ell -\epsilon )\Delta b_{n}<\Delta a_{n}<(\ell +\epsilon )\Delta b_{n}}$

이를 ${\displaystyle n}$에 ${\displaystyle N,N+1,\dots ,n}$를 대입하여 합을 구하면

${\displaystyle (\ell -\epsilon )(b_{n}-b_{N})<a_{n}-a_{N}<(\ell +\epsilon )(b_{n}-b_{N})}$

이다. 또한 ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$의 모든 항이 0보다 크다 가정할 수 있으므로,

${\displaystyle (\ell -\epsilon )\left(1-{\frac {b_{N}}{b_{n}}}\right)<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-{\frac {a_{N}}{b_{n}}}<(\ell +\epsilon )\left(1-{\frac {b_{N}}{b_{n}}}\right)}$

이다. 여기서 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=+\infty }$이므로, ${\displaystyle N'\in \mathbb {N} }$이 존재하여, 임의의 ${\displaystyle n\geq N'}$에 대하여,

${\displaystyle \ell -2\epsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<\ell +2\epsilon }$

이다. 즉,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\ell }$

관련 명제

부분적 역

슈톨츠-체사로 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 두 수열

${\displaystyle (a_{n})=(10,10,100,100,1000,1000,\ldots )}$

${\displaystyle (b_{n})=(10,11,100,101,1000,1001,\ldots )}$

을 정의하였을 때, ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1}$이지만, ${\displaystyle {\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}}$의 극한은 존재하지 않는다. 그러나 그 부분적 역인 다음 명제는 참이다. 두 실수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle b_{n},\Delta b_{n}\neq 0\qquad \forall n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle \left({b_{n} \over \Delta b_{n}}\right){}_{n\in \mathbb {N} }}$은 유계 수열이다.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}}$

그렇다면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}}$

한 가지 변형

슈톨츠-체사로 정리의 한 가지 변형은 다음과 같다. 두 실수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle a_{n},b_{n}>0\qquad \forall n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이다.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n+1}-b_{n}}]{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}}$

그렇다면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n}}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n+1}-b_{n}}]{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}\in \mathbb {R} \sqcup \{\pm \infty \}}$

일반화

슈톨츠-체사로 정리의 일반화된 형식은 다음과 같다.^[2] 실수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$과, 양의 무한대에 수렴하는 순증가 실수열 ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}}$

예

슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 다음과 같은 극한을 구해보자.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1+2^{k}+\cdots +n^{k}}{n^{k+1}}}={\frac {1}{k+1}}\qquad (k\in \mathbb {N} )}$

분모는 정리의 전제를 만족시킨다. 즉, ${\displaystyle (n^{k+1})_{n\in \mathbb {N} }\qquad (k\in \mathbb {N} )}$는 양의 무한대에 수렴하는 증가수열이다. 이에 따라, 이 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {1+2^{k}+\cdots +n^{k}}{n^{k+1}}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)^{k}}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{k}+kn^{k-1}+\cdots }{(k+1)n^{k}+{\frac {k(k+1)}{2}}n^{k-1}+\cdots }}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1+k\cdot {\frac {1}{n}}+\cdots }{(k+1)+{\frac {k(k+1)}{2}}\cdot {\frac {1}{n}}+\cdots }}\\&={\frac {1}{k+1}}\end{aligned}}}$

평균의 극한

슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 일부 평균의 극한에 대한 명제를 증명할 수 있다. 즉, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$인 실수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$에 대하여 다음이 성립한다.

(산술 평균의 극한) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}=a}$

(기하 평균의 극한) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}=a}$

(조화 평균의 극한) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}=a}$

(멱평균의 극한) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p}]{\frac {a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots +a_{n}^{p}}{n}}}=a\qquad (p\neq 0)}$

(일반화된 f-평균의 극한) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f^{-1}\left({\frac {f(a_{1})+f(a_{2})+\cdots +f(a_{n})}{n}}\right)=a}$ (${\displaystyle f}$는 가역 연속 함수)

마찬가지로, 다음이 성립한다. (여기서 ${\displaystyle w_{n}>0\forall n\in \mathbb {N} }$이며 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }w_{n}=+\infty }$이다.)

(가중 산술 평균의 극한) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {w_{1}a_{1}+w_{2}a_{2}+\cdots +w_{n}a_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}=a}$

(가중 기하 평균의 극한) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}]{a_{1}^{w_{1}}a_{2}^{w_{2}}\cdots a_{n}^{w_{n}}}}=a}$

(가중 조화 평균의 극한) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{a_{1}}}+{\frac {w_{2}}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {w_{n}}{a_{n}}}}}=a}$

(가중 멱평균의 극한) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p}]{\frac {w_{1}a_{1}^{p}+w_{2}a_{2}^{p}+\cdots +w_{n}a_{n}^{p}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}}=a}$

(가중 일반화된 f-평균의 극한) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f^{-1}\left({\frac {w_{1}f(a_{1})+w_{2}f(a_{2})+\cdots +w_{n}f(a_{n})}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}\right)=a}$ (${\displaystyle f}$는 가역 연속 함수)

기타

슈톨츠-체사로 정리는 로피탈의 정리의 증명에 사용될 수 있다.

역사

오스트리아의 수학자 오토 슈톨츠(독일어: Otto Stolz)^[3]와 이탈리아의 수학자 에르네스토 체사로(이탈리아어: Ernesto Cesàro)^[4]가 제시하였다.

같이 보기

• 로피탈의 정리
• 타우버의 정리
• 코시 수렴 판정법
• 수열의 극한
• 점근 표기법
• 체사로 평균
• 체사로 합