아이젠슈타인 급수

수학에서 아이젠슈타인 급수(영어: Eisenstein series)는 일련의 모듈러 형식들이다. 모든 정칙 모듈러 형식은 첫 두 아이젠슈타인 급수 ${\displaystyle G_{4}}$와 ${\displaystyle G_{6}}$에 대한 다항식으로 나타낼 수 있다.

정의

자연수 ${\displaystyle k\geq 2}$에 대하여, 아이젠슈타인 급수 ${\displaystyle G_{2k}}$는 다음과 같이 정의되는 모듈러 형식이다.

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}}(m+n\tau )^{-2k}}$

${\displaystyle G_{2k}}$는 무게가 ${\displaystyle 2k}$인 정칙 모듈러 형식이다. 이때 ${\displaystyle k=1}$인 경우에는, 이는 모듈러 형식을 이루지 않는다. (무게가 2인 정칙 모듈러 형식은 존재하지 않는다.)

모듈러 불변량(영어: modular invariant) ${\displaystyle g_{2}}$, ${\displaystyle g_{3}}$는 첫 두 아이젠슈타인 급수 ${\displaystyle G_{4},G_{6}}$와 다음과 같이 대응한다.

${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$

${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$

푸리에 급수

아이젠슈타인 급수의 푸리에 급수는 약수 함수 ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$으로 나타내어진다. ${\displaystyle k\geq 2}$이고 ${\displaystyle \Im (\tau )>0}$일 때, ${\displaystyle q=\exp(2\pi i\tau )}$라고 쓰면

${\displaystyle {\frac {(2k-1)!}{(2\pi i)^{2k}}}G_{2k}(\tau )={\frac {1}{2}}\zeta (1-2k)+\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(n)q^{n}}$

이 성립한다. 여기서 ${\displaystyle \zeta }$는 리만 제타 함수이다.

참고 문헌

• Brubaker, Benjamin; Daniel Bump, Solomon Friedberg (2011년 12월). “Eisenstein series, crystals, and ice” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 58 (11): 1563–1571. Zbl 05998843. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - Zbl (링크)
• Gan, Wee Teck; Stephen S. Kudla; Yuri Tschinkel (2008). 《Eisenstein series and applications》. Progress in Mathematics 258. Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-4639-4. ISBN 978-0-8176-4496-3.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Eisenstein series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.