알파-베타 변환

전기공학에서 알파-베타(${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$) 변환(영어: Alpha–beta transformation, 또는 클라크 변환(영어: Clarke transformation)이라고도 알려져 있음)은 3상 회로의 분석을 단순화하는 데 사용되는 수학적 변환이다. 개념적으로는 dq0 변환과 유사하다. ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ 변환의 매우 유용한 응용 중 하나는 3상 인버터의 공간 벡터 변조 제어에 사용되는 기준 신호를 생성하는 것이다.

역사

1937년과 1938년에 에디스 클라크는 불균형 3상 문제에 대한 계산 방법이 수정된 논문을 발표했는데, 이는 특히 유용한 것으로 판명되었다.^[1]

정의

에디스 클라크가 사용한 3상 전류에 적용된 ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ 변환은 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}=i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}$

여기서 ${\displaystyle i_{abc}(t)}$는 일반적인 3상 전류 시퀀스이고, ${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)}$는 변환 ${\displaystyle T}$에 의해 주어진 해당 전류 시퀀스이다. 역변환은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}=i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

위 클라크 변환은 적용되는 전기 변수의 진폭을 보존한다. 실제로 3상 대칭, 직접 전류 시퀀스를 고려하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle I}$는 ${\displaystyle i_{a}(t)}$, ${\displaystyle i_{b}(t)}$, ${\displaystyle i_{c}(t)}$의 RMS 값이고, ${\displaystyle \theta (t)}$는 일반적인 시간 변화 각도로, 일반성을 잃지 않고 ${\displaystyle \omega t}$로 설정할 수 있다. 그런 다음 전류 시퀀스에 ${\displaystyle T}$를 적용하면 다음 결과가 나온다.

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0,\end{aligned}}}$

마지막 방정식은 균형 전류를 고려했기 때문에 성립한다. 위에서 보듯이 ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ 기준 프레임의 전류 진폭은 자연 기준 프레임의 전류 진폭과 동일하다.

전력 불변 변환

위에 제시된 변환을 사용하여 클라크 영역에서 계산된 유효 전력과 무효 전력은 표준 기준 프레임에서 계산된 것과 동일하지 않다. 이는 ${\displaystyle T}$가 유니터리가 아니기 때문에 발생한다. 유효 전력과 무효 전력을 보존하려면 대신 다음을 고려해야 한다.

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},}$

이는 유니터리 행렬이며 역행렬은 전치행렬과 일치한다.^[3] 이 경우 변환된 전류의 진폭은 표준 기준 프레임의 진폭과 동일하지 않다. 즉,

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0.\end{aligned}}}$

마지막으로, 이 경우 역변환은 다음과 같다.

${\displaystyle i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

간소화된 변환

균형 시스템에서 ${\displaystyle i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)=0}$이므로 ${\displaystyle i_{\gamma }(t)=0}$이므로 다음과 같이 간소화된 변환을 고려할 수도 있다.^[4][5]

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha \beta }(t)&={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {2}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

이는 단순히 세 번째 방정식을 제외한 원래 클라크 변환이며,

${\displaystyle i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}}$

는 해당 역변환이다.

기하학적 해석

${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ 변환은 3상량(전압 또는 전류)을 두 개의 고정된 축인 알파 축과 베타 축에 투영하는 것으로 생각할 수 있다. 그러나 시스템이 균형을 이룰 경우 정보 손실은 없다. ${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$ 방정식은 변환에서 ${\displaystyle I_{\gamma }}$에 대한 방정식과 동일하기 때문이다. 시스템이 균형을 이루지 않으면 ${\displaystyle I_{\gamma }}$ 항에 투영의 오차 성분이 포함된다. 따라서 ${\displaystyle I_{\gamma }}$가 0이라는 것은 시스템이 균형을 이루고 있음을 나타내며(따라서 알파-베타 좌표 공간에 완전히 존재함), 시스템이 균형을 이룬다는 가정하에 작동하는 두 좌표 계산에서는 무시할 수 있다. 이것이 클라크 변환의 우아함이다. 이 가정 덕분에 세 가지 구성 요소 시스템을 두 가지 구성 요소 시스템으로 줄일 수 있다.

이를 이해하는 또 다른 방법은 ${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$ 방정식이 유클리드 3차원 좌표 공간에서 평면을 정의한다는 것이다. 알파-베타 좌표 공간은 이 평면으로 정의된 2차원 좌표 공간, 즉 알파-베타 축이 ${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$으로 정의된 평면 위에 놓여 있다고 이해할 수 있다.

이는 또한 클라크 변환을 사용하려면 시스템이 균형을 이루고 있는지 확인해야 한다는 의미이다. 그렇지 않으면 후속 두 좌표 계산이 오류가 발생할 수 있다. 이는 3상량이 측정되고 측정 오류가 발생할 수 있는 애플리케이션에서 실질적인 고려 사항이다.

위 그림은 120도 물리적 간격으로 분리된 세 권선에 흐르는 세 대칭 전류에 적용된 ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ 변환을 보여준다. 세 상 전류는 해당 상 전압보다 ${\displaystyle \delta }$만큼 지연된다. ${\displaystyle \alpha }$-${\displaystyle \beta }$ 축은 ${\displaystyle \alpha }$ 축이 상 'A'와 정렬되도록 표시되어 있다. 전류 벡터 ${\displaystyle I_{\alpha \beta \gamma }}$는 각속도 ${\displaystyle \omega }$로 회전한다. 전류가 균형을 이루므로 ${\displaystyle \gamma }$ 성분은 없다.

dq0 변환

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${\displaystyle dq0}$ 변환은 ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ 변환과 개념적으로 유사하다. ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ 변환이 상량(phase quantities)을 고정된 2축 기준 프레임에 투영하는 것과 달리, ${\displaystyle dq0}$ 변환은 상량(phase quantities)을 회전하는 2축 기준 프레임에 투영하는 것으로 생각할 수 있다.

같이 보기

• 대칭좌표법
• Y-Δ 변환
• 벡터 제어 (모터)