대칭좌표법

전기공학에서 대칭좌표법(영어: Symmetrical components)은 3상 전력 계통에서 전기적 고장이나 기타 불균형 상태를 분석하는 것을 단순화하는 방법이다.^[1]

불균형 3상 페이저 세트와 그 합으로 아래 그림과 같이 나타나는 대칭분.

비대칭 3상 페이저 세트에 해당하는 대칭분은 다음과 같다.^[1]

• 제0상분 (영상분 또는 동상분이라고도 함)은 원래 3상 페이저의 합의 3분의 1이다.
• 제1상분 (정상분)은 원래 3상 페이저를 0°, 120°, 240° 반시계 방향으로 회전시킨 합의 3분의 1이다.
• 제2상분 (역상분)은 원래 3상 페이저를 0°, 240°, 120° 반시계 방향으로 회전시킨 합의 3분의 1이다.

대칭분 영역에서 전력 시스템의 분석은 훨씬 간단하다. 왜냐하면 전력 시스템 자체가 평형인 경우 결과 방정식이 상호 선형 독립적이기 때문이다.^[2] 이 경우, 각 대칭분은 상별 분석과 유사하게 개별적으로 분석될 수 있다.

보호 계전기는 고장 감지를 위해 대칭분을 활용한다. 예를 들어, 정상 작동 중에는 영상 전류가 매우 작으므로, 높은 전류 값은 지락 고장의 편리하고 신뢰할 수 있는 지표가 된다.^[3]

역사

기본 개념은 1895년 갈릴레오 페라리스 외 다수가 단상 전동기 내부에 설정된 자장을 반대 방향으로 회전하는 두 구성 요소로 분리하여 분석한 것에서 비롯되었다. 현재 정상분과 역상분으로 알려진 개념은 1913년 에른스트 알렉산데르손이 위상 평형기에 대한 연구에서, 그리고 L. G. 스토크비스가 1912-1915년 전압 조정 연구에서 발표했다. 이 연구들에는 영상분에 대한 명확한 정의가 부족했다.^[4]

1918년 찰스 르기트 포테스큐는 N개의 불균형 페이저 (즉, 모든 다상 신호)가 N개의 대칭 평형 페이저 세트의 합으로 표현될 수 있음을 보여주는 논문을 발표했다.^[5] 여기서 N은 소수이다. 페이저로는 단일 주파수 성분만 표현된다.

1943년 에디스 클라크는 포테스큐의 원본 논문보다 계산을 크게 단순화한 3상 시스템에 대칭좌표법을 사용하는 방법을 설명하는 교과서를 출판했다.^[6] 3상 시스템에서 한 페이저 세트는 연구 중인 시스템과 동일한 상회전을 가지며 (정상분; 예를 들어 ABC), 두 번째 세트는 역상회전 (역상분; ACB)을 가지며, 세 번째 세트에서는 페이저 A, B, C가 서로 동상 (영상분, 공통 모드 신호)이다. 본질적으로 이 방법은 세 개의 불균형 위상을 세 개의 독립적인 소스로 변환하여 비대칭 고장 분석을 더 쉽게 만든다.

설명

발전기, 변압기, 송전선 및 케이블을 포함한 기타 장치의 정상분, 역상분, 영상분 임피던스를 보여주기 위해 단선도를 확장함으로써 단선-지락 단락 고장과 같은 불균형 조건을 크게 단순화하여 분석할 수 있다. 이 기술은 고차 위상 시스템에도 확장될 수 있다.

물리적으로 3상 시스템에서 정상분 전류 세트는 정상 회전장을 생성하고, 역상분 세트는 반대 방향으로 회전하는 장을 생성하며, 영상분 세트는 위상 권선 사이에서 회전하지 않고 진동하는 장을 생성한다. 이러한 효과는 시퀀스 필터로 물리적으로 감지할 수 있으므로, 이 수학적 도구는 고장 상태의 신뢰할 수 있는 지표로 역상 전압 및 전류를 사용하는 보호 계전기 설계의 기초가 되었다. 이러한 계전기는 회로 차단기를 트립시키거나 전기 시스템을 보호하기 위한 다른 조치를 취하는 데 사용될 수 있다.

이 분석 기술은 제너럴 일렉트릭과 웨스팅하우스의 엔지니어들에 의해 채택되고 발전되었으며, 제2차 세계 대전 이후 비대칭 고장 분석을 위한 인정된 방법이 되었다.

상단 오른쪽 그림에서 볼 수 있듯이, 세 가지 대칭분 세트(정상분, 역상분, 영상분)가 합쳐져 다이어그램 하단에 그려진 세 가지 불균형 위상 시스템을 생성한다. 위상 간의 불균형은 벡터 세트 간의 크기와 위상 변화의 차이로 인해 발생한다. 개별 시퀀스 벡터의 색상(빨간색, 파란색, 노란색)이 세 가지 다른 위상(예: A, B, C)에 해당한다는 점에 유의하라. 최종 그림에 도달하려면 각 위상 벡터의 합이 계산된다. 이 결과 벡터는 해당 위상의 유효 페이저 표현이다. 이 과정은 반복되어 세 가지 위상 각각에 대한 페이저를 생성한다.

3상 사례

대칭분은 3상 전력 시스템 분석에 가장 일반적으로 사용된다. 어느 지점에서의 3상 시스템의 전압 또는 전류는 전압 또는 전류의 세 성분이라고 불리는 세 페이저로 표시될 수 있다.

이 문서에서는 전압에 대해 설명하지만, 동일한 고려 사항이 전류에도 적용된다. 완벽하게 평형된 3상 전력 시스템에서 전압 페이저 성분은 동일한 크기를 가지지만 120도 떨어져 있다. 불균형 시스템에서는 전압 페이저 성분의 크기와 위상이 다르다.

전압 페이저 성분을 대칭분 세트로 분해하면 시스템을 분석하고 불균형을 시각화하는 데 도움이 된다. 세 전압 성분이 페이저 (즉 복소수)로 표현되면, 세 위상 성분이 벡터의 성분인 복소 벡터를 형성할 수 있다. 세 위상 전압 성분을 위한 벡터는 다음과 같이 작성할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {v} _{abc}={\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}}$

그리고 벡터를 세 대칭분으로 분해하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{a,0}\\V_{b,0}\\V_{c,0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,1}\\V_{b,1}\\V_{c,1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,2}\\V_{b,2}\\V_{c,2}\end{bmatrix}}}$

여기서 아래첨자 0, 1, 2는 각각 영상분, 정상분, 역상분 성분(NSC)을 나타낸다. 시퀀스 성분은 위상각만 다르며, 이들은 대칭적이고 ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{3}}\pi }$ 라디안 또는 120°이다.

A 행렬

페이저 벡터를 120도 반시계 방향으로 회전시키는 페이저 회전 연산자 ${\displaystyle \alpha }$를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \alpha \equiv e^{{\frac {2}{3}}\pi i}}$.

${\displaystyle \alpha ^{3}=1}$이므로 ${\displaystyle \alpha ^{-1}=\alpha ^{2}}$임을 유의하라.

영상분 성분은 크기가 같고 서로 동상이므로 다음과 같다.

${\displaystyle V_{0}\equiv V_{a,0}=V_{b,0}=V_{c,0}}$,

그리고 다른 시퀀스 성분은 크기는 같지만 위상각은 120° 다르다. 원래의 불균형 전압 페이저 세트가 정상 또는 abc 위상 시퀀스를 갖는다면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&\equiv V_{a,1}=\alpha V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{c,1}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2}&\equiv V_{a,2}=\alpha ^{2}V_{b,2}=\alpha V_{c,2}\end{aligned}}}$,

이는 다음을 의미한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{1}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{c,1}=\alpha V_{1}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{b,2}=\alpha V_{2}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{c,2}=\alpha ^{2}V_{2}\end{aligned}}}$.

따라서,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{abc}&={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{0}\\V_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{1}\\\alpha ^{2}V_{1}\\\alpha V_{1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{2}\\\alpha V_{2}\\\alpha ^{2}V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\textbf {A}}\mathbf {v} _{012}\end{aligned}}}$

여기서

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}},{\textbf {A}}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$

만약 원래의 불평형 전압 페이저 세트가 역상 또는 acb 위상 시퀀스를 갖는다면, 다음 행렬을 유사하게 유도할 수 있다.

${\displaystyle {\textbf {A}}_{acb}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}}$

분해

시퀀스 성분은 분석 방정식에서 파생된다.

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\textbf {A}}^{-1}\mathbf {v} _{abc}}$

여기서

${\displaystyle {\textbf {A}}^{-1}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}}$

위의 두 방정식은 비대칭 3상 페이저 세트에 해당하는 대칭분을 도출하는 방법을 알려준다.

• 제0상분은 원래 3상 페이저의 합의 3분의 1이다.
• 제1상분은 원래 3상 페이저를 0°, 120°, 240° 반시계 방향으로 회전시킨 합의 3분의 1이다.
• 제2상분은 원래 3상 페이저를 0°, 240°, 120° 반시계 방향으로 회전시킨 합의 3분의 1이다.

시각적으로, 원래의 구성 요소가 대칭이면 시퀀스 0과 2는 각각 삼각형을 형성하여 합이 0이 되고, 시퀀스 1 구성 요소는 직선으로 합쳐진다.

직관

나폴레옹 정리: L, M, N을 중심으로 하는 삼각형이 정삼각형이면 녹색 삼각형도 정삼각형이다.

페이저 ${\displaystyle \scriptstyle V_{(ab)}=V_{(a)}-V_{(b)};\;V_{(bc)}=V_{(b)}-V_{(c)};\;V_{(ca)}=V_{(c)}-V_{(a)}}$는 닫힌 삼각형(예: 외부 전압 또는 선간 전압)을 형성한다. 위상의 동기 및 역방향 구성 요소를 찾으려면 외부 삼각형의 한 변을 취하고 선택된 변을 밑변으로 공유하는 두 가지 가능한 정삼각형을 그린다. 이 두 정삼각형은 동기 시스템과 역방향 시스템을 나타낸다.

페이저 V가 완벽하게 동기 시스템이었다면, 밑변에 있지 않은 외부 삼각형의 꼭짓점은 동기 시스템을 나타내는 정삼각형의 해당 꼭짓점과 같은 위치에 있을 것이다. 어떤 양의 역방향 구성 요소는 이 위치에서 벗어남을 의미한다. 벗어남은 정확히 역상 구성 요소의 3배이다.

동기 구성 요소도 동일한 방식으로 "역방향 정삼각형"에서 벗어난 것의 3배이다. 이 구성 요소들의 방향은 해당 위상에 대해 정확하다. 이것이 선택된 변과 관계없이 세 위상 모두에 대해 작동한다는 것은 직관적이지 않은 것처럼 보이지만, 이것이 이 그림의 아름다움이다. 이 그래픽은 나폴레옹 정리에서 가져왔으며, 이는 오래된 참고 문헌에 가끔 나타나는 그래픽 계산 기술과 일치한다.^[7]

다상 사례

이 아이디어는 N상으로 확장될 수 있다. N개의 비대칭 페이저 세트는 복소수 선형 변환을 통해 N개의 대칭 페이저 세트의 선형 결합으로 표현될 수 있다.^[8] 포테스큐의 정리(대칭분)는 중첩 원리에 기반하므로^[9], 선형 전력 시스템 또는 비선형 전력 시스템의 선형 근사치에만 적용할 수 있다.

위의 변환 행렬 A는 이산 푸리에 변환 행렬이며, 따라서 모든 다상 시스템에 대해 대칭분을 계산할 수 있음을 알 수 있다.

3상 전력 시스템에서 고조파의 대칭분 기여

고조파는 비선형 부하의 결과로 전력 시스템에서 자주 발생한다. 각 차수의 고조파는 다른 시퀀스 성분에 기여한다. 기본파 및 ${\displaystyle \scriptstyle 3n+1}$ 차수의 고조파는 정상분 성분에 기여한다. ${\displaystyle \scriptstyle 3n-1}$ 차수의 고조파는 역상분 성분에 기여한다. ${\displaystyle \scriptstyle 3n}$ 차수의 고조파는 영상분 성분에 기여한다.

위 규칙은 각 위상의 위상 값(또는 왜곡)이 정확히 동일할 경우에만 적용 가능하다는 점에 유의하라. 또한 짝수 고조파는 전력 시스템에서 흔하지 않다는 점에 유의하라.

전력 시스템에서 영상분 성분의 결과

영상분은 크기와 위상이 동일한 불평형 페이저의 성분을 나타낸다. 이들은 동상이므로 n상 네트워크를 통해 흐르는 영상 전류는 개별 영상 전류 성분 크기의 n배가 된다. 정상 작동 조건에서는 이 합이 무시할 수 있을 정도로 작다. 그러나 낙뢰와 같은 큰 영상분 이벤트 중에는 이러한 0이 아닌 전류의 합으로 인해 개별 상 도체보다 중성 도체에 더 큰 전류가 흐를 수 있다. 중성 도체는 일반적으로 개별 상 도체보다 크지 않으며, 종종 이들 도체보다 작기 때문에 큰 영상분 성분은 중성 도체의 과열 및 화재로 이어질 수 있다.^[10]

큰 영상 전류를 방지하는 한 가지 방법은 델타 결선을 사용하는 것인데, 이는 영상 전류에 대해 개방 회로로 나타난다. 이러한 이유로 대부분의 송전 및 많은 부송전은 델타를 사용하여 구현된다. 많은 배전도 델타를 사용하여 구현되지만, "구식" 배전 시스템은 때때로 "와이(wye)화"되어(델타에서 와이로 변환) 낮은 전환 비용으로 선로 용량을 늘리면서도 중앙 발전소 보호 계전기 비용은 더 높아지는 경우가 있었다.

같이 보기

• 대칭
• 직접-직각-영 변환
• 알파-베타 변환