얼리 효과

얼리 효과(영어: Early effect)는 발견자인 제임스 M. 얼리의 이름을 따서 명명되었으며, 인가되는 베이스-컬렉터 전압의 변화로 인해 접합형 트랜지스터(BJT)의 베이스 유효 폭이 변하는 현상이다. 예를 들어, 컬렉터-베이스 접합에 더 큰 역방향 바이어스가 가해지면 컬렉터-베이스 공핍 폭이 증가하여 베이스의 전하 운반자 부분의 폭이 감소한다.

그림 1. 위: 낮은 컬렉터-베이스 역방향 바이어스에서의 NPN 베이스 폭; 아래: 큰 컬렉터-베이스 역방향 바이어스에서의 더 좁은 NPN 베이스 폭. 해싱된 영역은 공핍 영역이다.

2. 접합형 트랜지스터의 출력 특성 플롯에서 보이는 얼리 전압 (V_A).

설명

그림 1에서 중성(즉, 활성) 베이스는 녹색이고, 공핍된 베이스 영역은 옅은 녹색으로 해싱되어 있다. 중성 이미터 및 컬렉터 영역은 진한 파란색이고, 공핍된 영역은 옅은 파란색으로 해싱되어 있다. 컬렉터-베이스 역방향 바이어스가 증가하면 그림 1의 아래쪽 패널은 베이스의 공핍 영역이 넓어지고 이에 따라 중성 베이스 영역이 좁아지는 것을 보여준다.

컬렉터 공핍 영역도 역방향 바이어스 하에서 증가하는데, 베이스보다 컬렉터가 덜 고농도로 도핑되어 있기 때문에 베이스보다 더 많이 증가한다. 이 두 폭을 지배하는 원리는 전하 중성이다. 컬렉터의 폭이 좁아지는 것은 컬렉터가 베이스보다 훨씬 길기 때문에 큰 영향을 미치지 않는다. 이미터-베이스 접합은 이미터-베이스 전압이 동일하기 때문에 변하지 않는다.

베이스 폭 감소는 전류에 영향을 미치는 두 가지 결과를 가져온다:

• "더 작은" 베이스 영역 내에서 재결합할 가능성이 줄어든다.
• 베이스를 가로지르는 전하 기울기가 증가하고, 결과적으로 컬렉터-베이스 접합을 가로질러 주입되는 소수 운반자의 전류가 증가하며, 이 순 전류를 ${\displaystyle I_{\text{CB0}}}$라고 한다.

이 두 요인 모두 컬렉터 전압이 증가함에 따라 트랜지스터의 컬렉터 또는 "출력" 전류를 증가시키지만, 두 번째 요인만 얼리 효과라고 한다. 이 증가된 전류는 그림 2에 표시되어 있다. 큰 전압에서 특성 곡선에 접선을 그으면 전압 축에서 얼리 전압이라고 불리는 전압에 도달하도록 역으로 외삽되며, 종종 V_A 기호로 표시된다.

대신호 모델

순방향 활성 영역에서 얼리 효과는 컬렉터 전류(${\displaystyle I_{\mathrm {C} }}$)와 순방향 공통 이미터 전류 이득(${\displaystyle \beta _{\mathrm {F} }}$)을 다음과 같은 방정식으로 수정한다:^[1][2]

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {C} }&=I_{\mathrm {S} }e^{\frac {V_{\mathrm {BE} }}{V_{\mathrm {T} }}}\left(1+{\frac {V_{\mathrm {CE} }}{V_{\mathrm {A} }}}\right)\\\beta _{\mathrm {F} }&=\beta _{\mathrm {F0} }\left(1+{\frac {V_{\mathrm {CE} }}{V_{\mathrm {A} }}}\right)\end{aligned}}}$

여기서

• ${\displaystyle V_{\mathrm {CE} }}$는 컬렉터–이미터 전압
• ${\displaystyle V_{\mathrm {BE} }}$는 베이스–이미터 전압
• ${\displaystyle I_{\mathrm {S} }}$는 역 포화 전류
• ${\displaystyle V_{\mathrm {T} }}$는 열 전압 ${\displaystyle \mathrm {kT/q} }$로, 약 26 mV이다. 열 전압: 반도체 물리학에서의 역할 참조
• ${\displaystyle V_{\mathrm {A} }}$는 얼리 전압(일반적으로 15–150 V; 더 작은 소자에서는 더 낮음)
• ${\displaystyle \beta _{\mathrm {F0} }}$는 영 바이어스에서의 순방향 공통-이미터 전류 이득이다.

일부 모델은 컬렉터 전류 보정 계수를 컬렉터-이미터 전압 V_CE 대신 컬렉터-베이스 전압 V_CB에 기반을 둔다(베이스-폭 변조에 설명된 대로).^[3] V_CB를 사용하는 것이 물리적으로 더 타당할 수 있는데, 이는 효과의 물리적 기원인 V_CB에 따라 컬렉터-베이스 공핍층이 넓어지는 것과 일치한다. SPICE에 사용되는 것과 같은 컴퓨터 모델은 컬렉터-베이스 전압 V_CB를 사용한다.^[4]

소신호 모델

얼리 효과는 소신호 모델 회로 모델(하이브리드-파이 모델 등)에서 다음과 같이 정의된 저항으로 설명할 수 있다.^[5]

${\displaystyle r_{\text{O}}={\frac {V_{\text{A}}+V_{\text{CE}}}{I_{\text{C}}}}\approx {\frac {V_{\text{A}}}{I_{\text{C}}}}}$

이 저항은 트랜지스터의 컬렉터-이미터 접합과 병렬로 연결된다. 따라서 이 저항은 간단한 전류 미러 또는 능동 부하 공통 이미터 증폭기의 유한 출력 저항을 설명할 수 있다.

SPICE에서 사용되는 모델과 위에서 논의된 ${\displaystyle V_{CB}}$를 사용하여 저항은 다음과 같이 된다:

${\displaystyle r_{\text{O}}={\frac {V_{\text{A}}+V_{\text{CB}}}{I_{\text{C}}}}}$

이는 교과서 결과와 거의 일치한다. 어떤 공식에서도 ${\displaystyle r_{O}}$는 실제 관찰되는 바와 같이 DC 역방향 바이어스 ${\displaystyle V_{CB}}$에 따라 달라진다.

MOSFET에서 출력 저항은 Shichman–Hodges 모델(매우 오래된 기술에 정확함)에서 다음과 같이 주어진다.^[6]

${\displaystyle r_{\text{O}}={\frac {1+\lambda V_{\text{DS}}}{\lambda I_{\text{D}}}}={\frac {1}{I_{\text{D}}}}\left({\frac {1}{\lambda }}+V_{\text{DS}}\right)}$

여기서 ${\displaystyle V_{\text{DS}}}$ = 드레인-소스 전압, ${\displaystyle I_{\text{D}}}$ = 드레인 전류, ${\displaystyle \lambda }$ = 채널 길이 변조 파라미터로, 일반적으로 채널 길이 L에 반비례한다고 가정한다. 바이폴라 결과와의 유사성 때문에 "얼리 효과"라는 용어는 MOSFET에도 자주 적용된다.

전류-전압 특성

이 식들은 PNP 트랜지스터에 대해 유도되었다. NPN 트랜지스터의 경우 아래의 모든 식에서 n을 p로, p를 n으로 바꾸어야 한다. BJT의 이상적인 전류-전압 특성을 유도할 때 다음 가정이 포함된다.^[7]

• 낮은 수준 주입
• 각 영역에서 갑작스러운 접합부를 가진 균일한 도핑
• 1차원 전류
• 공간 전하 영역에서 무시할 수 있는 재결합-생성
• 공간 전하 영역 외부에서 무시할 수 있는 전기장.

전하 운반자 주입에 의해 유도되는 소수 확산 전류를 특성화하는 것이 중요하다.

pn 접합 다이오드와 관련하여 핵심 관계는 확산 방정식이다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Delta p_{\text{B}}(x)}{dx^{2}}}={\frac {\Delta p_{\text{B}}(x)}{L_{\text{B}}^{2}}}}$

이 방정식의 해는 아래와 같으며, 두 가지 경계 조건이 ${\displaystyle C_{1}}$과 ${\displaystyle C_{2}}$를 풀고 찾는 데 사용된다.

${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}(x)=C_{1}e^{\frac {x}{L_{\text{B}}}}+C_{2}e^{-{\frac {x}{L_{\text{B}}}}}}$

다음 방정식은 각각 이미터 및 컬렉터 영역에 적용되며, 원점 ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0'}$, 및 ${\displaystyle 0}$는 베이스, 컬렉터, 이미터에 적용된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta n_{\text{B}}(x)&=A_{1}e^{\frac {x}{L_{\text{B}}}}+A_{2}e^{-{\frac {x}{L_{\text{B}}}}}\\\Delta n_{\text{c}}(x')&=B_{1}e^{\frac {x'}{L_{\text{B}}}}+B_{2}e^{-{\frac {x'}{L_{\text{B}}}}}\end{aligned}}}$

이미터의 경계 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta n_{\text{E}}(0)=n_{{\text{E}}O}\left(e^{{\frac {1}{kT}}qV_{\text{EB}}}-1\right)}$

상수 ${\displaystyle A_{1}}$과 ${\displaystyle B_{1}}$의 값은 ${\displaystyle x\rightarrow 0}$ 및 ${\displaystyle x'\rightarrow 0}$일 때 이미터 및 컬렉터 영역의 다음 조건 때문에 0이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta n_{\text{E}}(x)&\rightarrow 0\\\Delta n_{\text{c}}(x')&\rightarrow 0\end{aligned}}}$

${\displaystyle A_{1}=B_{1}=0}$이므로, ${\displaystyle \Delta n_{\text{E}}(0)}$ 및 ${\displaystyle \Delta n_{\text{c}}(0')}$의 값은 각각 ${\displaystyle A_{2}}$ 및 ${\displaystyle B_{2}}$이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta n_{\text{E}}(x)&=n_{{\text{E}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{EB}}}{kT}}-1\right)e^{-{\frac {x}{L_{\text{E}}}}}\\\Delta n_{\text{C}}(x')&=n_{{\text{C}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{CB}}}{kT}}-1\right)e^{-{\frac {x'}{L_{\text{C}}}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle I_{{\text{E}}n}}$과 ${\displaystyle I_{{\text{C}}n}}$의 식을 평가할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{\text{E}}n}&=\left.-qAD_{\text{E}}{\frac {d\Delta _{\text{E}}(x)}{dx}}\right|_{x=0}\\I_{{\text{C}}n}&=-qA{\frac {D_{\text{C}}}{L_{\text{C}}}}n_{{\text{C}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{CB}}}{kT}}-1\right)\end{aligned}}}$

무시할 수 있는 재결합이 발생하기 때문에 ${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}(x)}$의 2차 미분은 0이다. 따라서 과잉 정공 밀도와 ${\displaystyle x}$ 사이에는 선형 관계가 존재한다.

${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}(x)=D_{1}x+D_{2}}$

다음은 ${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}}$의 경계 조건이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p_{\text{B}}(0)&=D_{2}\\\Delta p_{\text{B}}(W)&=D_{1}W+\Delta p_{\text{B}}(0)\end{aligned}}}$

여기서 W는 베이스 폭이다. 위 선형 관계에 대입한다.

${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}(x)=-{\frac {1}{W}}\left[\Delta p_{\text{B}}(0)-\Delta p_{\text{B}}(W)\right]x+\Delta p_{\text{B}}(0)}$

이 결과를 사용하여 ${\displaystyle I_{{\text{E}}p}}$의 값을 유도한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{\text{E}}p}(0)&=\left.-qAD_{\text{B}}{\frac {d\Delta p_{\text{B}}}{dx}}\right|_{x=0}\\I_{{\text{E}}p}(0)&={\frac {qAD_{\text{B}}}{W}}\left[\Delta p_{\text{B}}(0)-\Delta p_{\text{B}}(W)\right]\end{aligned}}}$

${\displaystyle I_{{\text{E}}p}}$, ${\displaystyle I_{{\text{E}}n}}$, ${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}(0)}$, 및 ${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}(W)}$의 식을 사용하여 이미터 전류의 식을 개발한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p_{\text{B}}(W)&=p_{{\text{B}}0}e^{\frac {qV_{\text{CB}}}{kT}}\\\Delta p_{\text{B}}(0)&=p_{{\text{B}}0}e^{\frac {qV_{\text{EB}}}{kT}}\\I_{\text{E}}&=qA\left[\left({\frac {D_{\text{E}}n_{{\text{E}}0}}{L_{\text{E}}}}+{\frac {D_{\text{B}}p_{{\text{B}}0}}{W}}\right)\left(e^{\frac {qV_{\text{EB}}}{kT}}-1\right)-{\frac {D_{\text{B}}}{W}}p_{{\text{B}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{CB}}}{kT}}-1\right)\right]\end{aligned}}}$

마찬가지로 컬렉터 전류의 식도 유도된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{\text{C}}p}(W)&=I_{{\text{E}}p}(0)\\I_{\text{C}}&=I_{{\text{C}}p}(W)+I_{{\text{C}}n}(0')\\I_{\text{C}}&=qA\left[{\frac {D_{\text{B}}}{W}}p_{{\text{B}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{EB}}}{kT}}-1\right)-\left({\frac {D_{\text{C}}n_{{\text{C}}0}}{L_{\text{C}}}}+{\frac {D_{\text{B}}p_{{\text{B}}0}}{W}}\right)\left(e^{\frac {qV_{\text{CB}}}{kT}}-1\right)\right]\end{aligned}}}$

베이스 전류의 식은 이전 결과들로 구해진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{B}}&=I_{\text{E}}-I_{\text{C}}\\I_{\text{B}}&=qA\left[{\frac {D_{\text{E}}}{L_{\text{E}}}}n_{{\text{E}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{EB}}}{kT}}-1\right)+{\frac {D_{\text{C}}}{L_{\text{C}}}}n_{{\text{C}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{CB}}}{kT}}-1\right)\right]\end{aligned}}}$