에구치-핸슨 공간

이론물리학에서 에구치-핸슨 공간(Eguchi[江口]-Hanson空間, 영어: Eguchi–Hanson space)은 4차원 초켈러 다양체의 하나이며, A₁ 점근 국소 유클리드 공간이다. 즉, 콤팩트하지 않으며, 점근적으로 (즉, 중심에서 멀리 떨어져) ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\mathbb {Z} _{2}}$의 꼴이다. 중력적 순간자의 일종으로 해석할 수 있다.

정의

에구치-핸슨 공간은 위상수학적으로 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}\mathbb {S} ^{2}}$ (2차원 구면의 여접다발)이다. 복소수 좌표 ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$에 대하여, 계량 텐서는 다음과 같다.

${\displaystyle g_{i{\bar {\jmath }}}={\sqrt {a^{4}/r^{4}+1}}\left(\delta _{i{\bar {\jmath }}}+z_{i}{\bar {z}}_{\bar {j}}/(r^{2}(1+r^{4}/a^{4}))\right)}$

여기서 ${\displaystyle r^{2}=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}}$이고, ${\displaystyle a}$는 순간자의 크기를 나타내는 매개 변수다. 이 좌표에서 ${\displaystyle (z_{1},z_{2})=(-z_{1},-z_{2})}$로 간주하면, ${\displaystyle r=0}$에서 특이점이 없음을 보일 수 있다.

이는 퍼텐셜

${\displaystyle V({\vec {r}})={\frac {1}{\|{\vec {r}}||}}+{\frac {1}{\|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}\|}}}$

에 대한 기번스-호킹 가설 풀이로 구성될 수 있다.

성질

에구치-핸슨 공간은 SU(2)=USp(2) 홀로노미를 가진다. 따라서 이는 칼라비-야우 다양체이자 초켈러 다양체이다.

에구치-핸슨 공간의 호지 수들은 다음과 같다.

		1
	0		0
0		1		0
	0		0
		1

여기서 유일한 2차 호몰로지는 반 자기 쌍대(anti-self-dual)이다. 즉, 반(反) 자기 쌍대 2차 미분 형식 (양-밀스 순간자)이 존재한다.

역사

에구치 도루(일본어: 江口 徹 (えぐち とおる))와 앤드루 핸슨(영어: Andrew J. Hanson)이 1978년 발견하였다.^[1][2][3] 이와 거의 동시에 에우제니오 칼라비도 같은 공간을 독자적으로 발견하였다.^[4]