양-밀스 순간자

미분기하학에서 양-밀스 순간자(楊-Mills瞬間子, 영어: Yang–Mills instanton)는 4차원 매끄러운 다양체 위의 주다발의 주접속 가운데, 그 주곡률의 호지 쌍대가 스스로의 −1배와 같은 것이다. 양자역학에서, 이는 양-밀스 이론의 특별한 (고전적) 해에 해당하며, 순간자로 해석될 수 있다. 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간으로부터 도널드슨 불변량을 정의할 수 있다.^[1][2]

정의

(반) 자기 쌍대 형식

다음이 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle 2n}$차원 유향 콤팩트 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g,\omega )}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$ 및 그 위의 양의 정부호 내적 ${\displaystyle \langle -,-\rangle }$

그렇다면, 벡터 값 미분 형식의 공간 ${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M;E)}$를 정의할 수 있으며, 그 호지 쌍대

${\displaystyle *\colon \Omega ^{\bullet }(M;E)\to \Omega ^{2n-\bullet }(M;E)}$

${\displaystyle \alpha \wedge *\beta =\langle \alpha ,\beta \rangle \omega }$

를 정의할 수 있다. 물론, ${\displaystyle k}$차 미분 형식에 대하여 ${\displaystyle *^{2}=(-)^{k(2n-k)}}$이다.

특히, 가운데 차수 (${\displaystyle n}$차) 미분 형식에 대하여, 호지 쌍대는 자기 사상을 이루며, 이 경우 ${\displaystyle *^{2}=(-)^{n^{2}}}$이다. 만약 ${\displaystyle n}$이 짝수일 경우, ${\displaystyle *\upharpoonright \Omega ^{n}(M;E)}$의 고윳값은 ±1이 된다. 이에 따라, 가운데 차수 미분 형식의 공간을 호지 쌍대의 고유 공간에 따라 다음과 같이 분해할 수 있다.

${\displaystyle \Omega ^{n}(M;E)=\Omega ^{n,+}(M;E)\oplus \Omega ^{n,-}(M;E)}$

여기서 ${\displaystyle \Omega ^{n,+}(M)}$의 원소는 자기 쌍대 미분 형식(영어: self-dual differential form), ${\displaystyle \Omega _{-}^{2}(M)}$의 원소는 반 자기 쌍대 미분 형식(영어: anti-self-dual differential form)라고 한다. 이에 대한 사영 사상을

${\displaystyle \operatorname {proj} ^{\pm }\colon \Omega ^{n}(M;E)\to \Omega ^{n,+}(M;E)}$

라고 표기하자.

(만약 ${\displaystyle n}$이 홀수라면, ${\displaystyle *}$의 고윳값은 ${\displaystyle \pm \mathrm {i} }$가 된다. 따라서 복소수 계수에서 유사한 분해를 가할 수 있다.)

다양체 ${\displaystyle M}$의 방향을 뒤집으면, 자기 쌍대 미분 형식은 반 자기 쌍대 미분 형식이 되며, 그 역도 마찬가지다. 즉, 자기 쌍대 / 반 자기 쌍대의 선택은 임의적이다.

순간자수

다음이 주어졌다고 하자.

• 4차원 유향 콤팩트 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• 콤팩트 리 군 ${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}$ 위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 ${\displaystyle K(-,-)}$
• ${\displaystyle G}$-매끄러운 주다발 ${\displaystyle G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M}$

그렇다면, ${\displaystyle P}$의 천-베유 준동형

${\displaystyle \operatorname {CW} _{P}\colon \mathbb {C} [{\mathfrak {lie}}(G)]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}$

을 정의할 수 있으며, ${\displaystyle K(-,-)}$의 천-베유 준동형 아래의 상

${\displaystyle \operatorname {CW} _{P}(K)\in \operatorname {H} ^{4}(M;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} }$

를 정의할 수 있다. 이는 천 특성류로 정의되는 특성수이며, 모든 가능한 주다발들에 대하여 그 값들은 어떤 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {CW} _{P}(K)\in \lambda \mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {C} }$

의 꼴이다. 이 경우, ${\displaystyle \lambda ^{-1}\operatorname {CW} _{P}(K)\in \mathbb {Z} }$를 주다발 ${\displaystyle P}$의 순간자수(영어: instanton number)라고 한다. (이는 ${\displaystyle \lambda \mapsto -\lambda }$ 아래 부호의 모호성을 가진다.)

만약 ${\displaystyle M=\mathbb {S} ^{4}}$ (4차원 초구)이며, ${\displaystyle G}$가 콤팩트 단순 리 군이라면, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$ 위의 ${\displaystyle G}$-주다발은 순간자수만으로 완전히 분류된다.

증명 개략:

${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$ 위의 주다발이 주어졌다고 하자. 그 위에 임의의 주접속 ${\displaystyle A}$를 부여하자. 또한, 어떤 임의의 점 ${\displaystyle \infty \in \mathbb {S} ^{4}}$을 무한대로 여겨, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\cong \mathbb {S} ^{4}\setminus \{\infty \}}$로 여길 수 있다.

4차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$은 축약 가능 공간이므로, 그 위의 ${\displaystyle G}$-주다발은 하나 밖에 없으며, 이를 자명한 주다발로 여길 수 있다. ${\displaystyle A}$는 그 위의 주접속으로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$의 무한대는 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속 함수

${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\to G}$

를 나타낸다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 같은 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$ 위의 서로 동형인 주다발에 정의될 수 있다. 따라서, 주다발들은 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\to G}$ 호모토피류, 즉 ${\displaystyle G}$의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다. 그런데 ${\displaystyle G}$가 콤팩트 단순 리 군이라면 이는 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$이며, 이는 순간자수에 해당한다.

(반) 자기 쌍대 주접속

다음이 주어졌다고 하자.

• 4차원 유향 콤팩트 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g,\omega )}$
• 콤팩트 리 군 ${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}$ 위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 ${\displaystyle K(-,-)}$
• ${\displaystyle G}$-매끄러운 주다발 ${\displaystyle P\twoheadrightarrow M}$

그렇다면, ${\displaystyle P}$의 주접속들을 생각하자. 연관 벡터 다발

${\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}\operatorname {ad} (G)}$

을 정의하면, 주접속 모듈라이 공간은

${\displaystyle \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))}$

에 대한 아핀 공간이다. (${\displaystyle \operatorname {ad} (G)}$는 ${\displaystyle G}$의 딸림표현이다.) 주접속 ${\displaystyle A}$로부터, 주곡률 ${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (G))}$을 정의할 수 있다. ${\displaystyle K(-,-)}$가 양의 정부호 2차 불변 다항식이므로, 이는 ${\displaystyle \operatorname {ad} (G)}$ 위의 양의 정부호 내적을 정의한다. 따라서 주곡률의 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

주접속 가운데, 그 주곡률이 반 자기 쌍대인 것을 반 자기 쌍대 주접속(영어: anti-self-dual connection) 또는 양-밀스 순간자(영어: Yang–Mills instanton)라고 한다.

이 경우, 게이지 변환에 대하여 서로 동치인 주접속은 같은 순간자로 간주한다. 이 경우 게이지 변환군은

${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)}$

이다. 이 대신, ${\displaystyle M}$에 임의의 밑점을 골라 점을 가진 공간 ${\displaystyle (M,\bullet )}$을 만들어, 밑점에서 자명한 게이지 변환들의 부분군

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}={\mathcal {C}}_{\bullet }^{\infty }((M,\bullet ),(G,1_{G}))}$

을 생각할 수 있다. 이는 짧은 완전열

${\displaystyle 1\to {\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}\to G\to 1}$

을 이룬다. ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$에 대한 반 자기 쌍대 주접속의 동치류를 틀 갖춘 순간자(영어: framed instanton)이라고 한다. 순간자의 모듈라이 공간을 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, 틀 갖춘 순간자의 모듈라이 공간을 ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$이라고 하면, 이는 ${\displaystyle G}$-주다발

${\displaystyle G\hookrightarrow {\tilde {\mathcal {M}}}\twoheadrightarrow {\mathcal {M}}}$

을 이룬다.

성질

순간자 모듈라이 공간의 국소 모형

반 자기 쌍대 주접속의 모듈라이 공간 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(M,G)}$의 접공간은 다음과 같이 묘사할 수 있다. 우선, 반 자기 쌍대 주접속 ${\displaystyle [A]\in {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(M,G)}$이 주어졌을 때, 다음과 같은 짧은 완전열을 정의할 수 있으며, 이를 순간자 변형 복합체(瞬間子變形複合體, 영어: instanton deformation complex)라고 한다.

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M;\operatorname {ad} (P))\,{\xrightarrow {\nabla _{A}}}\,\Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))\,{\xrightarrow {\operatorname {proj} ^{+}\nabla _{A}}}\,\Omega ^{2,+}(M;\operatorname {ad} (P))\to 0}$

완전열 조건의 증명:

임의의 ${\displaystyle \phi \in \Omega ^{0}(M;\operatorname {ad} (P))}$가 주어졌을 때,

${\displaystyle \nabla _{A}\nabla _{A}\phi =[F,\phi ]}$

이다. 여기서 ${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))}$는 ${\displaystyle A}$의 주곡률이다. ${\displaystyle F}$가 반 자기 쌍대 2차 미분 형식이라고 가정하였으므로,

${\displaystyle \operatorname {proj} ^{+}(\nabla _{A}\nabla _{A}\phi )=[\operatorname {proj} ^{+}(F),\phi ]=0}$

이다.

여기서

• ${\displaystyle \Omega ^{2,+}(M;\operatorname {ad} (P))}$는 자기 쌍대 미분 형식으로 구성된, ${\displaystyle \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))}$의 부분 실수 벡터 공간이다.
• ${\displaystyle \operatorname {proj} ^{+}\colon \Omega ^{2}(\operatorname {ad} (P))\to \Omega ^{2,+}(\operatorname {ad} (P))}$는 자기 쌍대 2차 미분 형식에 대한 사영이다.
• ${\displaystyle \nabla _{A}\colon \Omega ^{\bullet }(M;\operatorname {ad} (P))\to \Omega ^{\bullet +1}(M;\operatorname {ad} (P))}$는 ${\displaystyle A}$에 대한 공변 미분이다.

순간자 변형 복합체의 (가운데) 코호몰로지 군

${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}={\frac {\ker(\operatorname {proj} ^{+}\circ \nabla _{A})}{\operatorname {im} \nabla _{A}}}}$

은 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(M,G)}$의, ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(M,G)}$에서의 접공간과 표준적으로 동형이다. 그 해석은 다음과 같다. 임의의 ${\displaystyle X\in \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))}$에 대하여,

• ${\displaystyle \operatorname {proj} ^{+}(\nabla _{A}X)=0}$ 조건은 반 자기 쌍대 조건이 성립해야 함을 뜻한다.
• ${\displaystyle \nexists \phi \in \Omega ^{0}(M;\operatorname {ad} (P))\colon \nabla _{A}\phi =X}$ 조건은 게이지 변환군의 작용에 대한 몫을 취한 것이다.

순간자 변형 복합체의 오일러 지표

${\displaystyle \operatorname {ind} =-\dim \operatorname {H} ^{0}+\dim \operatorname {H} ^{1}-\dim \operatorname {H} ^{2}}$

를 모듈라이 공간의 가상 차원(假想次元, 영어: virtual dimension)이라고 한다. 이는 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산될 수 있으며, 모듈라이 공간의 실제 차원의 하계를 이룬다. 많은 주접속의 경우, 이는 실제 차원과 일치한다.

주다발 ${\displaystyle P}$에 대하여, 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ind} =4h^{\vee }(G)|k|\leq \dim {\tilde {\mathcal {M}}}}$

여기서 ${\displaystyle k}$는 순간자수이며, ${\displaystyle h^{\vee }(G)}$는 ${\displaystyle G}$의 이중 콕서터 수이다. 즉, 이는 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 하계이다. 틀이 없는 순간자 모듈라이 공간의 차원은 물론 이보다 ${\displaystyle |G|}$만큼 작다.

${\displaystyle 4h^{\vee }(G)|k|-\dim G\leq \dim {\mathcal {M}}}$

순간자 모듈라이 공간

양-밀스 순간자의 모듈라이 공간 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(P)}$를 생각하자. 그 위에는 ${\displaystyle M}$의 리만 계량 및 ${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}$ 위의 2차 불변 다항식으로 유도되는 리만 계량이 존재한다.

만약 ${\displaystyle M}$이 4차원 유클리드 공간의 콤팩트화라면, 이에 따라 틀 달린 순간자 모듈라이 공간 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{ADS}}(P)}$는 (특이점을 제외하면 국소적으로) 초켈러 다양체를 이룬다. 특히, 그 가상 차원은 항상 4의 배수이다.

4차원 유클리드 공간(의 콤팩트화) 위에서, 게이지 군이 ${\displaystyle G}$일 경우, 1차 및 2차 베티 수가 0이므로, 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 일치하며, 다음과 같다.^[3][4]:§2

${\displaystyle \dim {\tilde {\mathcal {M}}}(k,G)=4|k|h^{\vee }(G)}$

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}(k,G)=4|k|h^{\vee }(G)-\dim G}$

모든 순간자들을 평행 이동시킬 수 있고, 이 방향으로는 모듈라이 공간이 평탄하다. 즉, 모듈라이 공간 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$은 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ 등거리 대칭을 갖는다. 이에 대한 몫을 취하면, ${\displaystyle 4|k|h^{\vee }(G)-4}$ 차원의 초켈러 다양체를 얻는다.

ADHM 작도

 이 부분의 본문은 ADHM 작도입니다.

4차원 유클리드 공간의 콤팩트화 (즉, 4차원 초구) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$ 위의 양-밀스 순간자 모듈라이 공간은 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 게이지 이론의 힉스 가지(영어: Higgs branch)로 나타낼 수 있다. 이를 통해 순간자를 힉스 가지의 모듈라이로 작도할 수 있다. 이를 ADHM 작도라고 한다.^[5][6] 마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 1978년에 3쪽밖에 되지 않는 유명한 논문에 발표하였다.^[7]

보고몰니-프라사드-소머필드 부등식

(반) 자기 쌍대 주접속은 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식(영어: Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound, BPS 부등식)을 충족시킨다.^[8][9]

${\displaystyle M}$ 위의 부피 형식 ${\displaystyle \omega }$가 리만 계량에 의하여 주어지며, 또한 ${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}$ 위에 양의 정부호 쌍선형 형식을 이루는 2차 불변 다항식 ${\displaystyle K(-,-)}$이 주어졌다고 하자. (반단순 리 대수의 경우, 이는 킬링 형식에 비례한다.) 이 경우, ${\displaystyle \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))}$ 위에 자연스러운 양의 정부호 내적

${\displaystyle \langle B,C\rangle =\int _{M}K(B\wedge *C)}$

이 주어진다. 이 내적 아래, 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간과 반 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간은 서로 수직이다.

이에 대한 주곡률의 노름 ${\displaystyle \langle F,F\rangle }$을 주접속의 양-밀스 작용(영어: Yang–Mills action)이라고 하며, 이는 양-밀스 이론의 작용이다. 임의의 주곡률

${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))}$

의 (반) 자기 쌍대 성분을 ${\displaystyle F^{\pm }}$이라고 하자 (${\displaystyle F=F^{+}+F^{-}}$, ${\displaystyle *F=F^{+}-F^{-}}$). 그렇다면

${\displaystyle \langle F,F\rangle =\langle F_{+},F_{+}\rangle +\langle F_{-},F_{-}\rangle \geq |\langle F_{+},F_{+}\rangle -\langle F_{-},F_{-}\rangle |=\langle F,*F\rangle =\left|\int _{M}K(F\wedge F)\right|}$

이다. 우변은 ${\displaystyle F}$의 (어떤 충실한 표현에 대한 연관 벡터 다발의) 2차 천 특성류(의 절댓값)에 비례한다. 즉, 양-밀스 작용은 천 특성류의 절댓값에 의하여 하계를 갖는다. 이를 주접속의 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식이라고 한다.

(반) 자기 쌍대 접속의 경우, ${\displaystyle F^{+}}$ 또는 ${\displaystyle F^{-}}$가 0이므로, 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 부등식이 포화된다. 즉, (반) 자기 쌍대 접속은 양-밀스 작용을 (국소적으로) 최소화시킨다.

예

유클리드 공간

4차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ 위의, 게이지 군 ${\displaystyle G}$의 양-밀스 순간자를 생각하자. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$의 콤팩트화 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$는 자명한 위상을 가지므로, 그 위의 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 같다.

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}(G,k)=4h^{\vee }(G)|k|}$

예를 들어, ${\displaystyle G=\operatorname {SU} (N)}$인 경우 이중 콕서터 수는 ${\displaystyle h^{\vee }=N}$이며, 틀 달린 순간자 모듈라이 공간의 차원은 ${\displaystyle 4N|k|}$이다.^[5]:9–12 하나의 순간자(${\displaystyle k=1}$)인 경우, 이는 다음과 같다.

• 4차원 공간 속의 점입자이므로, 4개의 평행 이동(영어: translation) 자유도가 있다.
• 4차원 순수 양-밀스 이론(또는 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론)은 등각 장론이므로, 순간자의 크기를 마음대로 놓을 수 있다. 이에 따라 1개의 확대 변환(영어: dilatation) 자유도가 있다.
• ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong S^{3}}$이므로, 원점에서 무한히 떨어진 ${\displaystyle S^{3}}$에서 순간자의 게이지 퍼텐셜은 이 SU(2)를 따라 감기게 된다. SU(2)는 3차원이므로, 무한대에서 상수 게이지 변환 3개가 있다.
• ${\displaystyle \operatorname {SU} (N)}$에서 SU(2) 부분군을 골라야 하는데, 이 모듈라이 공간은 잉여류 공간

${\displaystyle {\frac {\operatorname {SU} (N)}{(\operatorname {U} (2)\times \operatorname {U} (N-2))/\operatorname {U} (1)}}={\frac {\operatorname {U} (N)}{\operatorname {U} (2)\times \operatorname {U} (N-2)}}}$

이고, 그 차원은

${\displaystyle N^{2}-4-(N-2)^{2}=4N-8}$

이다.

따라서, 순간자수 1의 모듈라이 공간의 가상 차원은

${\displaystyle 4+1+3+4N-8=4N}$

이다. 만약 순간자수가 ${\displaystyle k}$라면, 순간자들이 멀리 떨어져 있을 경우 차원이 ${\displaystyle 4kN}$이 되며, 모듈라이 공간의 가상 차원은 일정하므로 이는 순간자들이 서로 가까이 있을 때에도 성립한다.

하나의 순간자의 모듈라이 공간은

${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\times \mathbb {R} ^{4}/\operatorname {Cyc} (2)}$

이다.^[5]:1.25 이 경우, 오비폴드의 특이점은 작은 순간자 극한에 해당한다.

칼로론

 이 부분의 본문은 칼로론입니다.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}}$ 위의 양-밀스 순간자는 칼로론이라고 하며, 잘 알려져 있다.

초켈러 다양체

점근 국소 유클리드 공간^[10]과 토브-너트 공간^[11][12]의 경우에도 양-밀스 순간자가 알려져 있다.

토브-너트 공간 위의 SU(2) 순간자 모듈라이 공간을 나타내는 활 도형

토브-너트 공간 위의 (무한대에서 주어진 모노드로미 행렬 ${\displaystyle \operatorname {diag} (\exp(2\pi \lambda /l),\exp(-2\pi \lambda /l))}$을 갖는) ${\displaystyle k}$개의 SU(2) 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간은 초켈러 축소

${\displaystyle {\frac {\mathrm {TGL} (k;\mathbb {C} )\times \mathbb {H} ^{k}\times \operatorname {TGL} (k;\mathbb {C} )\times \mathbb {H} ^{k}\times \operatorname {TGL} (k;\mathbb {C} )\times \mathbb {H} ^{k^{2}}}{\operatorname {U} (k)\times \operatorname {U} (k)\times \operatorname {U} (k)\times \operatorname {U} (k)}}}$

로 주어진다.^{[11]:(11), §4} 이는 활 도형(영어: bow diagram)으로 유도할 수 있다. 따라서, 모듈라이 공간의 실수 차원은

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{l,\lambda ,k}=4\left(k^{2}+k+k^{2}+k+k^{2}+k^{2}-k^{2}-k^{2}-k^{2}-k^{2}\right)=8k}$

이다.

역사

양-밀스 순간자의 수학적 중요성은 사이먼 도널드슨이 1983년에 지적하였다.^[13]