에르미트 항등식

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에르미트 항등식이란 샤를 에르미트가 만든 항등식으로 임의의 실수 ${\displaystyle x}$와 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여 항상 성립하는 항등식이다. 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left[x+{\frac {k}{n}}\right]=[x]+\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]=[nx]}$

(단, ${\displaystyle [x]}$는 가우스 기호이다. 이는 ${\displaystyle x}$를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

증명

[증명 1-대수(해석)적 증명법]

${\displaystyle f(x)=[x]+\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]-[nx]}$라고 가정하자.

그러므로, ${\displaystyle f(x)=0}$임을 증명하면 된다.

${\displaystyle x=x+{\frac {1}{n}}}$를 대입해 주면,

${\displaystyle f\left(x+{\frac {1}{n}}\right)=\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+1\right]-[nx+1]=\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x\right]+1-[nx]-1=f(x)}$

가 된다.

즉, ${\displaystyle f(x)}$은 주기가 ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$인 주기함수가 된다.

(추가로 ${\displaystyle f(x)=f(x+p)}$일 때 ${\displaystyle f(x)}$는 주기가 ${\displaystyle p}$인 함수이다.)

그러므로 ${\displaystyle 0\leq x<{\frac {1}{n}}}$인 ${\displaystyle x}$에 대하여 ${\displaystyle f(x)=0}$임을 증명하면 되는 것이다.

${\displaystyle 0\leq x<{\frac {1}{n}},[x]=0}$

${\displaystyle 0\leq x+{\frac {1}{n}}<{\frac {2}{n}},\left[x+{\frac {1}{n}}\right]=0}$

.

.

.

${\displaystyle 0\leq x+{\frac {n-1}{n}}<1,\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]=0}$

${\displaystyle 0\leq nx<1,[nx]=0}$

위의 식을 다 더하면 ${\displaystyle f(x)=0}$.

따라서 에르미트 항등식은 성립한다.

[증명2-정수적 증명(바닥함수의 정의 이용)]

${\displaystyle x=m+\alpha }$라고 가정하자. (단, ${\displaystyle m}$은 정수, ${\displaystyle 0\leq \alpha <1}$이다.)

${\displaystyle [x]=[m+\alpha ]=m,[x+1]=[m+\alpha ]+1=m+1}$임을 알 수 있다.

이때, ${\displaystyle [x]=\left[x+{\frac {1}{n}}\right]=\left[x+{\frac {2}{n}}\right]=\cdots =\left[x+{\frac {i-1}{n}}\right]=m}$,

${\displaystyle \left[x+{\frac {i}{n}}\right]=\left[x+{\frac {i+1}{n}}\right]=\left[x+{\frac {i+2}{n}}\right]=\cdots =\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]=m+1}$이 성립한다고 가정하면,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left[x+{\frac {k}{n}}\right]=n[x]+n-i}$가 성립한다. (${\displaystyle i}$는 자연수)

또한, 두 부등식 ${\displaystyle \alpha +{\frac {i-1}{n}}<1}$, ${\displaystyle \alpha +{\frac {i}{n}}\geq 1}$을 연립하여 정리하면,

${\displaystyle n-i\leq n\alpha <n-i+1}$이 되고 양변에 ${\displaystyle n[x]}$를 더해 주면,

${\displaystyle n[x]+n-i\leq n[x]+n\alpha <n[x]+n-i+1}$이 되고, ${\displaystyle x=m+\alpha }$ 이므로,

${\displaystyle n[x]+n-i\leq nx<n[x]+n-i+1}$이다.

따라서 ${\displaystyle [nx]=n[x]+n-i=\sum _{k=0}^{n-1}\left[x+{\frac {k}{n}}\right]}$이므로,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left[x+{\frac {k}{n}}\right]=[x]+\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]=[nx]}$

이로써 에르미트 항등식이 성립함을 알 수 있다.