에르미트 다항식

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수학에서 에르미트 다항식(Hermite多項式, 영어: Hermite polynomial)은 직교 관계를 만족시키는 일련의 다항식들이다.

확률론 에르미트 다항식 ${\displaystyle H_{n}(x)}$의 그래프 (${\displaystyle n=1,\ldots ,6}$)

물리학 에르미트 다항식 ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(x)}$의 그래프 (${\displaystyle n=1,\ldots ,6}$)

정의

에르미트 다항식은 확률론과 물리학에서 쓰이는 정의가 조금씩 다르다. (확률론에서의) 에르미트 다항식 ${\displaystyle H_{n}(x)}$은 다음과 같다.

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}1=\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)x^{n}}$

물리학에서 쓰이는 에르미트 다항식 ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(x)}$은 다음과 같다.

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(x)=2^{n/2}H_{n}({\sqrt {2}}x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}1}$

이 문서에서는 확률론에서의 에르미트 다항식 정의를 사용한다.

확률론의 에르미트 다항식들은 아펠 다항식열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 수열을 정의하자.

${\displaystyle \exp(-t^{2}/2)=\sum _{n=0}^{\infty }h_{n}t^{n}/n!}$

${\displaystyle h_{n}={\begin{cases}(-1)^{n/2}(n-1)!!&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}}}$

여기서

${\displaystyle n!!=\prod _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots }$

는 이중 계승이다. 그렇다면, 에르미트 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}h_{k}x^{n-k}}$

이는 아펠 다항식열의 음계산법으로 간편하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 음변수 ${\displaystyle {\mathsf {h}}}$에 대하여 선형 범함수

${\displaystyle L\colon {\mathsf {h}}^{n}\to h_{n}}$

를 정의하면, 에르미트 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle H_{n}(x)=L\left((x+{\mathsf {h}})^{n}\right)}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(x)=L\left((2x+{\sqrt {2}}{\mathsf {h}})^{n}\right)}$

즉, 구체적으로 ${\displaystyle L}$은 다음과 같다.

${\displaystyle L\colon \mathbb {Q} [x+{\mathsf {h}}]\mapsto \mathbb {Q} [x]}$

${\displaystyle L=\operatorname {eval} _{x+{\mathsf {h}}\mapsto x}\exp \left(-{\frac {d^{2}}{d(x+{\mathsf {h}})^{2}}}\right)}$

${\displaystyle L}$의 역범함수는 마찬가지로 다음과 같다.

${\displaystyle L^{-1}\colon \mathbb {Q} [x]\mapsto \mathbb {Q} [x+{\mathsf {h}}]}$

${\displaystyle L^{-1}=\operatorname {eval} _{x\mapsto x+{\mathsf {h}}}\exp \left({\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}$

성질

직교성

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)\,dx={\sqrt {2\pi }}n!\delta _{mn}}$

여기서 ${\displaystyle \delta _{mn}}$은 크로네커 델타이다. 또한, 이들은 힐베르트 공간 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\exp(-x^{2}/2))}$의 완비기저를 이룬다. 여기서 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\exp(-x^{2}/2))}$은 다음과 같은 내적이 주어진 함수공간이다.

${\displaystyle \langle f|g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{\bar {f}}(x)g(x)\exp(-x^{2}/2)\,dx}$

에르미트 미분 방정식

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 에르미트 미분 방정식(영어: Hermite differential equation)의 해를 이룬다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\exp(-x^{2}/2){\frac {d}{dx}}H\right)=\lambda \exp(-x^{2}/2)H}$

여기서 ${\displaystyle \lambda }$는 임의의 상수이다. 즉, ${\displaystyle H}$는 미분 연산자

${\displaystyle \exp(x^{2}/2){\frac {d}{dx}}\exp(-x^{2}/2){\frac {d}{dx}}}$

의 고유함수이다.

점화식

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 아펠 다항식열이므로, 점화식을 갖는다. 구체적으로, 선형 범함수

${\displaystyle L^{-1}\colon H_{n}(x)\mapsto (x+{\mathsf {h}})^{n}}$

${\displaystyle L^{-1}=\operatorname {eval} _{x\mapsto x+{\mathsf {h}}}\exp \left({\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}$

를 생각하자. 그렇다면 에르미트 다항식이 만족시키는 점화식은 다음과 같다.

${\displaystyle H_{n+1}(x)=\left(x-{\frac {d}{d(d/dx)}}\ln \exp \left((d/dx)^{2}/2\right)\right)H_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)H_{n}(x)=xH_{n}(x)-nH_{n-1}(x)}$

즉

${\displaystyle H_{n+1}(x)=xH_{n}(x)-nH_{n-1}(x)}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)}$

이다.

생성 함수

에르미트 다항식열의 지수 생성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x)t^{n}/n!=\exp(xt-t^{2}/2)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\tilde {H}}_{n}(x)t^{n}/n!=\exp(2xt-t^{2})}$

이는 에르미트 다항식의 계수의 지수 생성 함수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }h_{n}t^{n}/n!=L(t{\mathsf {h}})=\exp(-t^{2}/2)}$

로부터 유도할 수 있다. 음계산법을 사용하면,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x)t^{n}/n!=L\sum _{n=0}^{\infty }\exp \left(t(x+{\mathsf {h}})\right)=\exp(xt)L\exp(t{\mathsf {h}})=\exp(xt-t^{2}/2)}$

이다.

미분과 적분

(확률론에서의) 에르미트 다항식의 미분은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}H_{n}(x)=nH_{n-1}(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\tilde {H}}_{n}(x)=2n{\tilde {H}}_{n-1}(x)}$

에르미트 다항식은 아펠 다항식열을 이루므로, 이는 음계산법으로 다음과 같이 간단히 적을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}H_{n}(x)={\frac {d}{dx}}L\left((x+{\mathsf {h}})^{n}\right)=L\left({\frac {d}{dx}}(x+{\mathsf {h}})^{n}\right)=L\left(n(x+{\mathsf {h}})^{n-1}\right)=nH_{n-1}(x)}$

갈루아 군

${\displaystyle 2n\neq 0,2}$인 경우, ${\displaystyle H_{2n}(x)\in \mathbb {Z} [x]}$는 기약원이다. ${\displaystyle 2n+1\neq 1,3,3^{2},\dots }$인 경우, ${\displaystyle x^{-1}H_{2n+1}(x)\in \mathbb {Z} [x]}$는 기약원이다.

다음과 같은 다항식열 ${\displaystyle K_{n}(x),K_{n}'(x)\in \mathbb {Z} [x]}$을 정의하자.

${\displaystyle H_{2n}(x)=K_{n}(x^{2})}$

${\displaystyle H_{2n+1}(x)=xK_{n}'(x^{2})}$

이들 다항식의 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 위의 분해체의 갈루아 군은 항상 대칭군이다.^{[1][2][3]:274, Example 8(b)}

${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{n})\cong \operatorname {Sym} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{n}')\cong \operatorname {Sym} (n)}$

표

확률론에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A096713)

${\displaystyle H_{0}(x)=1}$

${\displaystyle H_{1}(x)=x}$

${\displaystyle H_{2}(x)=x^{2}-1}$

${\displaystyle H_{3}(x)=x^{3}-3x}$

${\displaystyle H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3}$

${\displaystyle H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x}$

${\displaystyle H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15}$

${\displaystyle H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x}$

${\displaystyle H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105}$

${\displaystyle H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x}$

${\displaystyle H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945}$

물리학에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(x)=1}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{1}(x)=2x}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{2}(x)=4x^{2}-2}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{3}(x)=8x^{3}-12x}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240}$

역사

에르미트 다항식은 피에르시몽 라플라스가 1810년 정의하였다.^[4] 이후 파프누티 체비쇼프가 이들을 1859년 자세히 연구하였다.^[5] 샤를 에르미트는 이 함수들에 대하여 1864년 연구하였고,^[6][7] 이에 따라 에르미트의 이름이 붙게 되었다.

응용

에르미트 다항식은 양자역학에서 양자 조화 진동자의 에너지 고유상태의 파동 함수에 등장한다.

같이 보기

• 르장드르 다항식