브라우어르 차수

대수적 위상수학에서, 두 다양체 사이의 연속 함수의 브라우어르 차수(Brouwer次數, Brouwer degree)는 함수의 정의역이 함수의 치역을 몇 번 감싸는지를 나타내는 정수이다. 기호는 ${\displaystyle \deg }$.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• 두 ${\displaystyle n}$차원 콤팩트 연결 다양체 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$ 위의 방향. 즉, 기본류 ${\displaystyle [X]\in \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )}$, ${\displaystyle [Y]\in \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )}$.
• 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

이에 따라, ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$의 최고차 호몰로지 군은 다음과 같다.

${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )\cong H_{n}(Y;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

그렇다면, ${\displaystyle f}$는 군 준동형

${\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} _{n}(Y;\mathbb {Z} )}$

를 유도한다. 연속 함수 ${\displaystyle f}$의 브라우어르 차수 ${\displaystyle \deg f}$는 다음 조건을 만족시키는 유일한 정수이다.

${\displaystyle f_{*}([X])=(\deg f)[Y]}$.

예

단위 절댓값의 복소수 집합으로 여긴 원

${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\{z\in \mathbb {Z} \colon |z|=1\}}$

을 생각하자. 이는 표준적인 방향을 갖는 1차원 콤팩트 다양체이다. 이 경우, 연속 함수

${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}}$

${\displaystyle f\colon z\mapsto z^{n}}$

의 브라우어르 차수는 다음과 같다.

${\displaystyle \deg f=n}$

역사

라위트전 브라우어르가 1911년 정의하였다.^[1]

같이 보기

• 밀도 (다포체)