오스굿 유일성 정리

동역학계 이론에서 오스굿 유일성 정리(영어: Osgood’s uniqueness theorem) 또는 오스굿 판정법(영어: Osgood’s criterion)은 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다. 피카르-린델뢰프 정리의 일반화이다.

정의

초깃값 문제

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$

를 생각하자.

열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle f\colon [t_{0},t_{0}+a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}}$가 주어졌고, ${\displaystyle f}$에 대하여 다음 조건들을 만족시키는 연속 함수 ${\displaystyle g\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$가 존재한다고 하자 (오스굿 조건, 영어: Osgood condition).

${\displaystyle g(0)=0}$

${\displaystyle g(r)>0\qquad \forall r>0}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} u}{g(u)}}=\infty }$

${\displaystyle |f(t,y)-f(t,z)|\leq g(|y-z|)\qquad \forall (t,y),(t,z)\in [t_{0},t_{0}+a]\times U}$

오스굿 유일성 정리에 따르면, 임의의 ${\displaystyle y_{0}\in U}$에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 ${\displaystyle 0<\delta \leq a}$에 대하여 유일한 국소적 해 ${\displaystyle y\colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U}$를 갖는다.

오스굿 유일성 정리에서 ${\displaystyle g\colon r\mapsto Lr}$ (${\displaystyle L\geq 0}$)를 취하면 피카르-린델뢰프 정리를 얻는다.

증명:

국소적 해의 존재는 페아노 존재 정리의 특수한 경우이다. 유일성의 증명은 다음과 같다. 귀류법을 사용하여, 서로 다른 두 해 ${\displaystyle \phi ,\psi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U}$를 갖는다고 가정하자. 그렇다면 ${\displaystyle \phi (s)\neq \psi (s)}$인 ${\displaystyle s\in (t_{0},t_{0}+a]}$가 존재한다. 이제

${\displaystyle {\tilde {s}}=\sup\{t\in [t_{0},s]\colon \phi (t)=\psi (t)\}\in [t_{0},s)}$

${\displaystyle h\colon [{\tilde {s}},s]\to [0,\infty )}$

${\displaystyle h\colon t\mapsto |\phi (t)-\psi (t)|}$

라고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle t\in ({\tilde {s}},s]}$에 대하여

${\displaystyle h'(t)={\frac {\langle \phi (t)-\psi (t)\rangle ,\phi '(t)-\psi '(t)\rangle }{|\phi (t)-\psi (t)|}}\leq |\phi '(t)-\psi '(t)|=|f(t,\phi (t))-f(t,\psi (t))|\leq g(|\phi (t)-\psi (t)|)=g(h(t))}$

이다. 즉,

${\displaystyle {\frac {h'(t)}{g(h(t))}}\leq 1}$

이다. 따라서

${\displaystyle \int _{0}^{h(s)}{\frac {\mathrm {d} r}{g(r)}}=\int _{\tilde {s}}^{s}{\frac {h'(t)\mathrm {d} t}{g(h(t))}}\leq s-{\tilde {s}}<\infty }$

이며, 이는 모순이다.

역사

윌리엄 포그 오스굿(영어: William Fogg Osgood)의 이름을 땄다.

참고 문헌

• Cid, J. Ángel (2003년 5월 1일). “On uniqueness criteria for systems of ordinary differential equations”. 《Journal of Mathematical Analysis and Applications》 (영어) 281 (1): 264–275. doi:10.1016/S0022-247X(03)00096-9. ISSN 0022-247X.

외부 링크

• “Osgood criterion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.