피카르-린델뢰프 정리

동역학계 이론에서 피카르-린델뢰프 정리(영어: Picard–Lindelöf theorem) 또는 피카르 유일성 정리(영어: Picard’s uniqueness theorem) 또는 코시-립시츠 정리(영어: Cauchy–Lipschitz theorem)는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다.

정의

초깃값 문제

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$

를 생각하자.

립시츠 조건

열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle f\colon [t_{0},t_{0}+a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}}$가 주어졌고, ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle y}$에 대하여 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 실수 ${\displaystyle L\geq 0}$가 존재한다고 하자 (립시츠 조건, 영어: Lipschitz condition).

${\displaystyle |f(t,y)-f(t,z)|\leq L|y-z|\qquad \forall (t,y),(t,z)\in [t_{0},t_{0}+a]\times U}$

피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의 ${\displaystyle y_{0}\in U}$에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 ${\displaystyle 0<\delta \leq a}$에 대하여 유일한 국소적 해 ${\displaystyle \phi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U}$를 갖는다. 만약 ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$일 경우, 임의의 ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$에 대하여, 위 초깃값 문제는 유일한 대역적 해 ${\displaystyle \phi \colon [t_{0},t_{0}+a]\to \mathbb {R} ^{n}}$를 갖는다.^{[1]:12, §3.2, Theorem 3.1}

증명 (바나흐 고정점 정리를 통한 증명):

우선 ${\displaystyle \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)\subseteq U}$인 ${\displaystyle b>0}$ 및

${\displaystyle 0<\delta \leq \min \left\{a,{\frac {b}{\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|}}\right\}}$

를 취하자. 그렇다면 연속 함수 ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+\delta ]\to \mathbb {R} ^{n}}$들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\mathbb {R} ^{n})}$ 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

${\displaystyle \Vert \phi \Vert =\Vert t\mapsto \exp(-Lt)\phi (t)\Vert _{\infty }=\sup _{t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}\exp(-Lt)|\phi (t)|}$

이 노름은 상한 노름 ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{\infty }}$과 동치이므로 ${\displaystyle ({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\mathbb {R} ^{n}),\Vert \cdot \Vert )}$은 바나흐 공간이다. 연속 함수 ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+\delta ]\to \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}$의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$은 ${\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+a],\mathbb {R} ^{n})}$의 닫힌집합이므로 ${\displaystyle ({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)),\Vert \cdot \Vert )}$ 역시 바나흐 공간이다.

이제 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.

${\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))\to {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$

${\displaystyle T\phi \colon t\mapsto y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\phi (s))\mathrm {d} s}$

이 작용소의 공역을 ${\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$로 제한할 수 있는 것은 임의의 ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$ 및 ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}$에 대하여

${\displaystyle |(T\phi )(t)-y_{0}|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq \sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|\cdot \delta \leq b}$

이기 때문이다. 정리 속 초깃값 문제의 해 ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$는 자명하게 ${\displaystyle T}$의 고정점과 동치이다. 바나흐 고정점 정리에 따라, 이러한 고정점이 유일하게 존재함을 보이려면 ${\displaystyle T}$가 (노름 ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$에 대하여) 축약 사상임을 보이는 것으로 충분하다. 이는 ${\displaystyle f}$의 립시츠 조건에 따라 다음과 같이 보일 수 있다. 임의의 ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$ 및 ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}$에 대하여,

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(-Lt)|(T\phi -T\psi )(t)|&\leq \exp(-Lt)\int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm {d} s\\&\leq \exp(-Lt)\int _{t_{0}}^{t}L|\phi (s)-\psi (s)|\mathrm {d} s\\&=\exp(-Lt)\int _{t_{0}}^{t}Le^{Ls}e^{-Ls}|\phi (s)-\psi (s)|\mathrm {d} s\\&\leq \exp(-Lt)\int _{t_{0}}^{t}Le^{Ls}\mathrm {d} s\Vert \phi -\psi \Vert \\&=(1-\exp(-Lt))\Vert \phi -\psi \Vert \\&\leq (1-\exp(-L(t_{0}+\delta )))\Vert \phi -\psi \Vert \end{aligned}}}$

마지막으로, 위 증명은 ${\displaystyle \delta }$가 고정되었을 때 ${\displaystyle b}$를 (${\displaystyle \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)\subseteq U}$를 만족시키는) 더 큰 수로 대체하여도 유효하므로, 초깃값 문제의 해 ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U}$는 유일하게 존재한다.

만약 ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$일 경우 ${\displaystyle b=\infty }$와 ${\displaystyle \delta =a}$를 취하면 대역적 해의 존재와 유일성을 얻는다.

증명 (그뢴발 부등식을 통한 증명):

국소적 해의 존재는 페아노 존재 정리의 특수한 경우이다. 국소적 해의 유일성은 그뢴발 부등식을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다. ${\displaystyle \phi ,\psi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U}$ (${\displaystyle 0<\delta \leq a}$)가 정리 속 초깃값 문제의 두 해라고 하고, ${\displaystyle h=|\phi -\psi |}$라고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}$에 대하여,

${\displaystyle h(t)\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm {d} s\leq L\int _{t_{0}}^{t}|\phi (s)-\psi (s)|\mathrm {d} s=L\int _{t_{0}}^{t}h(s)\mathrm {d} s}$

이다. 그뢴발 부등식에 따라 ${\displaystyle h=0}$이며, 즉 ${\displaystyle \phi =\psi }$이다.

국소 립시츠 조건

열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle f\colon [t_{0},t_{0}+a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}}$가 주어졌고, ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle y}$에 대하여 국소 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 임의의 ${\displaystyle y_{0}\in U}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle y_{0}}$의 근방 ${\displaystyle {\widetilde {U}}\subseteq U}$ 및 음이 아닌 실수 ${\displaystyle L\geq 0}$가 존재한다고 하자 (국소 립시츠 조건, 영어: local Lipschitz condition).

${\displaystyle |f(t,y)-f(t,z)|\leq L|y-z|\qquad \forall (t,y),(t,z)\in [t_{0},t_{0}+a]\times {\widetilde {U}}}$

피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의 ${\displaystyle y_{0}\in U}$에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 ${\displaystyle 0<\delta \leq a}$에 대하여 유일한 국소적 해 ${\displaystyle \phi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U}$를 갖는다.^[2]:265 특히, 만약 ${\displaystyle y}$에 대한 편미분 ${\displaystyle \partial f/\partial y}$이 연속 함수라면, ${\displaystyle f}$는 국소 립시츠 조건을 만족시키므로, 유일한 국소적 해가 존재한다.

증명:

임의의 ${\displaystyle y_{0}\in U}$를 고정하였을 때, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+a]\times {\widetilde {U}}}$로 제한되었을 때 립시츠 조건을 만족시키며, 따라서 정리 속 초깃값 문제는 어떤 ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+\delta ]}$에서 유일한 국소적 해를 갖는다.

해의 근사

반복법을 사용하여 위 초깃값 문제의 해로 균등 수렴하는 함수열 ${\displaystyle \phi _{n}\colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U}$을 다음과 같이 구성할 수 있다.

${\displaystyle \phi _{0}\colon t\mapsto y_{0}}$

${\displaystyle \phi _{n+1}\colon t\mapsto y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\phi _{n}(s))\mathrm {d} s}$

이 경우 실제 해 ${\displaystyle \phi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U}$와의 오차는 다음과 같다.

${\displaystyle |\phi _{n}(t)-\phi (t)|\leq {\frac {L^{n}}{(n+1)!}}|t-t_{0}|^{n+1}\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|}$

증명:

${\displaystyle |\phi _{0}(t)-\phi (t)|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq |t-t_{0}|\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\phi _{n+1}(t)-\phi (t)|&\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi _{n}(s))-f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}|\phi _{n}(s)-\phi (s)|\mathrm {d} s\\&\leq {\frac {L^{n+1}}{(n+1)!}}\int _{t_{0}}^{t}|s-t_{0}|^{n+1}\mathrm {d} s\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|\\&={\frac {L^{n+1}}{(n+2)!}}|t-t_{0}|^{n+2}\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|\end{aligned}}}$

다른 정리와의 관계

피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 충분조건(립시츠 조건)을 제시한다. 오스굿 유일성 정리는 이 충분조건을 약화하여 얻는 정리이다. 페아노 존재 정리는 립시츠 조건 대신 연속성만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. 카라테오도리 존재 정리(영어: Carathéodory's existence theorem)는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해(영어: weak solution)의 존재만을 결론내린다.

역사

샤를 에밀 피카르와 에른스트 레오나르드 린델뢰프(스웨덴어: Ernst Leonard Lindelöf)^[3]가 증명하였다.

같이 보기

• 벡터장
• 뉴턴 방법
• 오일러 방법
• 사다리꼴 공식