오일러 벽돌

기하학에서 오일러 벽돌(영어: Euler brick) 또는 오일러 직육면체(영어: Euler cuboid)는 모서리와 면대각선의 길이가 모두 자연수인 직육면체이다. 원시 오일러 벽돌(영어: primitive Euler brick)란 모서리의 길이가 서로소인 오일러 벽돌이다. 완벽한 오일러 벽돌(영어: perfect Euler brick)은 입체대각선의 길이가 자연수인 오일러 벽돌이며, 아직 발견되지 않았다.

오일러 벽돌(위 그림)에서 a, b, c는 모서리이고 d, e, f는 면대각선이다.

정의

오일러 벽돌의 각 선분의 길이는 다음의 디오판토스 방정식을 푸는 것과 같다.

${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}}$

${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$는 모서리의 길이이고 ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle f}$는 면대각선의 길이이다.

성질

• ${\displaystyle (a,b,c)}$가 오일러 벽돌의 모서리의 길이라면 임의의 ${\displaystyle k}$에 대해 ${\displaystyle (ka,kb,kc)}$도 오일러 벽돌의 모서리의 해가 된다. 따라서 오일러 벽돌의 유리수해는 정수해로 바꿀 수 있다. 또 ${\displaystyle (a,b,c)}$가 오일러 벽돌의 모서리의 길이라면 ${\displaystyle (ab,bc,ca)}$도 오일러 벽돌의 모서리의 해가 된다.^[1]:106쪽
• 오일러 벽돌의 적어도 두 모서리는 3의 배수이다.^[1]:106쪽
• 오일러 벽돌의 적어도 두 모서리는 4의 배수이다.^[1]:106쪽
• 오일러 벽돌의 적어도 한 모서리는 11의 배수이다.^[1]:106쪽

오일러 벽돌의 예시

가장 작은 오일러 벽돌은 1719년에 Paul Halcke가 발견하였으며, 모서리의 길이는 ${\displaystyle (a,b,c)=(44,117,240)}$이고 면대각선의 길이는 ${\displaystyle (d,e,f)=(125,244,267)}$이다.^[2] 아래는 오일러 벽돌의 다른 예시로, 왼쪽 괄호는 모서리, 오른쪽 괄호는 면대각선의 순서쌍이다.

모서리 길이가 1000 이하인 모든 오일러 벽돌

(	85,	132,	720	) — (	157,	725,	732	)
(	140,	480,	693	) — (	500,	707,	843	)
(	160,	231,	792	) — (	281,	808,	825	)
(	187,	1020,	1584	) — (	1037,	1595,	1884	)
(	195,	748,	6336	) — (	773,	6339,	6380	)
(	240,	252,	275	) — (	348,	365,	373	)
(	429,	880,	2340	) — (	979,	2379,	2500	)
(	495,	4888,	8160	) — (	4913,	8175,	9512	)
(	528,	5796,	6325	) — (	5820,	6347,	8579	)

완벽한 오일러 벽돌

모서리가 a,b,c; 면대각선이 d,e,f; 입체대각선이 g인 완벽한 오일러 벽돌

완벽한 오일러 벽돌(영어: perfect Euler brick) 또는 완벽한 직육면체(영어: perfect cuboid)는 입체대각선의 길이가 자연수인 오일러 벽돌이다. 이는 기존의 오일러 벽돌의 디오판토스 방정식에 다음의 식을 추가하는 것과 같다. ${\displaystyle g}$는 입체대각선의 길이이다.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}}$

2020년 10월 기준으로, 완벽한 오일러 벽돌의 예시 또는 오일러 벽돌이 존재하지 않는다는 증명은 나오지 않았다.^[3]

컴퓨터 계산 결과, 완벽한 오일러 벽돌이 존재한다면 다음의 조건을 만족해야 한다.

• 홀수인 모서리의 길이가 2.5×10¹³보다 크다.^[3]
• 가장 작은 모서리의 길이가 5×10¹¹보다 크다.^[3]

또한 합동 산술에 의해 모서리의 길이가 서로소인 완벽한 오일러 벽돌은 다음의 조건을 만족해야 한다.^[4]

• 한 모서리와 두 면대각선, 입체대각선은 홀수이고, 다른 한 모서리와 다른 한 면대각선은 4의 배수이며, 나머지 한 모서리는 16의 배수이다.
• 두 모서리는 3의 배수이고, 이중 적어도 한 모서리는 9의 배수이다.
• 한 모서리는 5의 배수이다.
• 한 모서리는 7의 배수이다.
• 한 모서리는 11의 배수이다.
• 한 모서리는 19의 배수이다.
• 한 모서리 또는 입체대각선은 13의 배수이다.
• 한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 17의 배수이다.
• 한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 29의 배수이다.
• 한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 37의 배수이다.
• 입체대각선은 소수의 거듭제곱이나 반소수가 아니다.^[5]:566쪽
• 입체대각선은 4로 나눈 나머지가 1인 소인수만을 포함한다.^{[5]:566쪽[6]}

완벽한 평행육면체

완벽한 평행육면체(영어: perfect parallelepiped)는 모든 모서리와 면대각선, 입체대각선의 길이가 정수인 평행육면체이다. 완벽한 오일러 벽돌은 완벽한 평행육면체의 특수한 경우이다. 2009년에 완벽한 평행육면체의 예시가 발견되었다.^[7] 가장 작은 평행육면체는 모서리는 271, 106, 103; 짧은 면대각선은 101, 266, 255; 긴 면대각선은 183, 312, 323; 입체대각선은 374, 300, 274, 272의 길이를 가진다.