완비화 (환론)

환론에서 완비화(完備化, 영어: completion)는 형식적 멱급수를 취하는 연산의 일반화이며, 대략 어떤 양쪽 아이디얼을 형식적 변수처럼 생각하여 이에 대한 형식적 멱급수를 추가하는 연산이다.

정의

(곱셈 항등원을 갖는) 환 ${\displaystyle R}$와 그 양쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\vartriangleleft R}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 몫환들을 정의할 수 있다.

${\displaystyle 0=R/R=R/{\mathfrak {a}}^{0}\leftarrow R/{\mathfrak {a}}\leftarrow R/{\mathfrak {a}}^{2}\leftarrow R/{\mathfrak {a}}^{3}\leftarrow \cdots }$

${\displaystyle R}$의, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$에 대한 완비화 ${\displaystyle {\hat {R}}_{\mathfrak {a}}}$는 이 몫환들의 (환의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ring} }$에서의) 극한이다.^[1]:319 (만약 ${\displaystyle R}$가 가환환이라면, 이는 가환환의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CRing} }$에서 생각하여도 좋다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {CRing} }$이 ${\displaystyle \operatorname {Ring} }$의 반사 부분 범주이기 때문이다.) 구체적으로, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle {\hat {R}}_{\mathfrak {a}}=\left\{(r_{0},r_{1},r_{2},\dots )\in \prod _{i=0}^{\infty }R/{\mathfrak {a}}^{i}\colon r_{i}\equiv r_{i+1}\mod {\mathfrak {a}}^{i}\quad \forall i\in \mathbb {N} \right\}}$

이에 대하여 자연스러운 환 준동형

${\displaystyle R\to {\hat {R}}_{\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle r\mapsto (r+R,r+{\mathfrak {a}},r+{\mathfrak {a}}^{2},\dots )}$

가 존재한다.

만약 표준적 환 준동형 ${\displaystyle R\to {\hat {R}}_{\mathfrak {a}}}$가 동형 사상이라면, ${\displaystyle R}$가 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-완비환(영어: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-adically complete ring)이라고 한다.

성질

양쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$에 대한 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-완비환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {rad} R}$^{[1]:320, Remark 21.30}
• ${\displaystyle R/\operatorname {rad} R}$의 임의의 멱등원 ${\displaystyle {\bar {e}}\in R/\operatorname {rad} R}$에 대하여, ${\displaystyle e+\operatorname {rad} R={\bar {e}}}$가 되는 ${\displaystyle R}$의 멱등원 ${\displaystyle e\in R}$가 존재한다.^{[1]:320, Theorem 21.30}

예

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$를 0이 아닌 소 아이디얼 ${\displaystyle (p)}$에서 완비화하면 ${\displaystyle p}$진 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$를 얻는다.

체 ${\displaystyle K}$에 대한 다항식환 ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$을 극대 아이디얼 ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$에서 완비화하면 형식적 거듭제곱 급수환 ${\displaystyle K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]}$을 얻는다.

같이 보기

• 형식적 스킴