극한 (범주론)

수학의 한 분야인 범주론에서 극한(極限, 영어: limit)은 수학의 여러 분야에서 사용되는 보편적 구성들(예로서 곱이나 역극한 등)이 갖는 공통된 성질을 잡아내어 일반화시킨 개념이다. 그 쌍대 개념인 쌍대극한(雙對極限, 영어: colimit)은 서로소 합집합이나 직합 등의 일반화이다. 극한과 쌍대극한은 보편 사상 및 수반 함자 등의 범주론적 개념과 밀접한 연관이 있다.

정의

뿔을 통한 정의

함자 ${\displaystyle F\colon J\to C}$의 뿔(영어: cone) ${\displaystyle (N,(\psi _{X}\colon N\to F(X))_{X\in J})}$은 다음 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle C}$의 대상 ${\displaystyle N\in C}$
• 모든 대상 ${\displaystyle X\in J}$에 대하여, ${\displaystyle C}$의 사상 ${\displaystyle \psi _{X}\colon N\to F(X)}$

이 데이터는 다음 가환 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 대상 ${\displaystyle X,Y\in J}$ 및 사상 ${\displaystyle F\colon X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle \psi _{Y}=F(f)\circ \psi _{X}}$

함자 ${\displaystyle F\colon J\to C}$의 극한은 다음 보편 성질을 만족시키는 뿔 ${\displaystyle (L,(\phi _{X})_{X\in J})}$이다.

• 모든 ${\displaystyle F}$의 뿔 ${\displaystyle (N,(\psi _{X})_{X\in J})}$에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 ${\displaystyle u\colon N\to L}$이 존재한다.
  • 모든 대상 ${\displaystyle X\in J}$에 대하여, ${\displaystyle \psi _{X}=\phi _{X}\circ u}$

주어진 함자의 극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 이는 극한의 보편 성질에 의한다. 만약 극한의 정의에서 사상의 유일성 조건을 존재로 약화하면 약한 극한(영어: weak limit)의 개념을 얻는다.

함자 ${\displaystyle F\colon J\to C}$의 쌍대뿔(영어: cocone) ${\displaystyle (N,(\psi _{X}\colon F(X)\to N)_{X\in J})}$은 다음 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle C}$의 대상 ${\displaystyle N\in C}$
• 모든 대상 ${\displaystyle X\in J}$에 대하여, ${\displaystyle C}$의 사상 ${\displaystyle \psi _{X}\colon F(X)\to N}$

이 데이터는 다음 가환 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 대상 ${\displaystyle X,Y\in J}$ 및 사상 ${\displaystyle F\colon X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle \psi _{X}=\psi _{Y}\circ F(f)}$

함자 ${\displaystyle F\colon J\to C}$의 쌍대극한은 다음 보편 성질을 만족시키는 쌍대뿔 ${\displaystyle (L,(\phi _{X})_{X\in J})}$이다.

• 모든 ${\displaystyle F}$의 쌍대뿔 ${\displaystyle (N,(\psi _{X})_{X\in J})}$에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 ${\displaystyle u\colon L\to N}$이 존재한다.
  • 모든 대상 ${\displaystyle X\in J}$에 대하여, ${\displaystyle \psi _{X}=u\circ \phi _{X}}$

보편 성질에 따라, 주어진 함자의 쌍대극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 만약 사상의 유일한 존재를 존재로 대체하면 약한 쌍대극한(영어: weak colimit)의 정의를 얻는다.

끝 대상을 통한 정의

만약 ${\displaystyle J}$가 작은 범주라면, 함자 ${\displaystyle F\colon J\to C}$의 극한은 쉼표 범주

${\displaystyle \operatorname {diag} _{C}^{J}\downarrow F^{*}}$

의 끝 대상이다. 여기서

${\displaystyle \operatorname {diag} _{C}^{J}\colon C\to C^{J}}$

${\displaystyle \operatorname {diag} _{C}^{J}(X)\colon j\mapsto X}$

${\displaystyle \operatorname {diag} _{C}^{J}(X)\colon (f\colon i\to j)\mapsto \operatorname {id} _{X}}$

${\displaystyle \operatorname {diag} _{C}^{J}(g\colon X\to Y)_{j}=g}$

는 대각 함자이며,

${\displaystyle F^{*}\colon 1\to C^{J}}$

는 1의 유일한 대상의 상이 ${\displaystyle F}$인 상수 함자이다. 끝 대상은 유일한 동형 아래 유일하므로, 극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 함자의 정의역이 작은 범주인 경우, 끝 대상을 통한 극한의 정의는 뿔을 통한 정의의 재서술에 불과하다.

만약 ${\displaystyle J}$가 작은 범주라면, 함자 ${\displaystyle F\colon J\to C}$의 쌍대극한은 쉼표 범주

${\displaystyle F^{*}\downarrow \operatorname {diag} _{C}^{J}}$

의 시작 대상이다. 시작 대상은 유일한 동형 아래 유일하므로, 쌍대극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 함자의 정의역이 작은 범주인 경우, 시작 대상을 통한 쌍대극한의 정의는 쌍대뿔을 통한 정의의 재서술에 불과하다.

표현을 통한 정의

만약 ${\displaystyle J}$가 작은 범주라면, 함자 ${\displaystyle F\colon J\to C}$의 극한은 다음 데이터로 구성된다.

• 대상 ${\displaystyle L\in \operatorname {ob} (C)}$
• 자연 동형 ${\displaystyle \hom _{C}(X,L)\xrightarrow {\cong } \varprojlim _{j}\hom _{C}(X,F(j))}$ (${\displaystyle X\in \operatorname {ob} (C)}$)

여기서 ${\displaystyle \varprojlim }$은 집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$에서의 극한이며, 이는 구체적으로 정의될 수 있다. 표현 가능 함자의 표현은 유일한 동형 아래 유일하므로, 극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 극한의 표현을 통한 정의와 뿔을 통한 정의의 동치는 요네다 보조정리에 의한다.

만약 ${\displaystyle J}$가 작은 범주라면, 함자 ${\displaystyle F\colon J\to C}$의 쌍대극한은 다음 데이터로 구성된다.

• 대상 ${\displaystyle L\in \operatorname {ob} (C)}$
• 자연 동형 ${\displaystyle \hom _{C}(L,Y)\xrightarrow {\cong } \varprojlim _{j}\hom _{C}(F(j),Y)}$ (${\displaystyle Y\in \operatorname {ob} (C)}$)

여기서 ${\displaystyle \varprojlim }$은 집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$에서의 극한이며 (쌍대극한이 아닌 데 주의하자), 이는 구체적으로 정의될 수 있다. 표현 가능 함자의 표현은 유일한 동형 아래 유일하므로, 쌍대극한은 유일한 동형 아래 유일하다. 쌍대극한의 표현을 통한 정의와 쌍대뿔을 통한 정의의 동치는 요네다 보조정리에 의한다.

예

특별한 경우에 붙은 이름은 다음과 같다.

${\displaystyle J}$	${\displaystyle J}$를 지표 범주로 하는 극한	${\displaystyle J^{\operatorname {op} }}$를 지표 범주로 하는 쌍대극한
공(空)범주	끝 대상	시작 대상
이산 범주	곱	쌍대곱
상향 원순서 집합	사영 극한/역극한	귀납적 극한/직접적 극한
${\displaystyle \cdot \rightrightarrows \cdot }$	동등자	쌍대동등자
${\displaystyle \cdot \rightarrow \cdot \leftarrow \cdot }$	당김	밂

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Inductive limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Projective limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “System (in a category)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Limit”. 《nLab》 (영어).
• “Colimit”. 《nLab》 (영어).